下面详细介绍一些数学建模中常用的初等模型。希望对数学建模不熟悉的小伙伴们可以发挥一下作用。通过建模实例,对数学建模的基本思想和步骤有了初步的了解。好了,话不多说,进入正文,小向日葵的课已经开始了,抓紧时间等着上完吧。 . . .
内容
分蛋糕问题
出租车费问题
蚂蚁逃跑问题
极限、最大值和积分问题的基本模型
极限问题中的基本模型
细菌生长问题
最大值问题中的基本模型
海报设计问题
工人生产力
最大利润问题
积分问题中的基本模型
商品仓储成本
平均车速问题
经济问题的基本模型
经济问题的基本功能
示例说明
线性代数模型
人、狗、鸡、米过河的问题
常染色体遗传模型
分蛋糕问题
题:
姐姐生日那天,妈妈做了一个任意边框的蛋糕,弟弟想吃。姐姐指着蛋糕上的一个点对哥哥说:“你可以用刀从这个点上切一刀,让你切的两个蛋糕面积一样,放在蛋糕上。”其中之一是给你的。兄弟用高等数学来解决这个问题。你知道他用了什么方法吗?
问题归结为证明问题:
已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线,P是曲线所围图形上任一点,求证:一定存在一条过P的直线,将这图形的面积二等分。
若S1≠ S2 不妨设S1>S2 (此时l与x轴正向的夹角记为),以点P为旋转中心,将l按逆时针方向旋转,面积S1,S2就连续依赖于角的变化,记为
由零点定理证明。
出租车费问题
题:
某城市出租汽车收费情况如下:起价10元(4km以内),行 程不足15km,大于等于4km部分,每公里车费1.6元;行程 大于等于15km部分,每公里车费2.4元。计程器每0.5km记 一次价。
例如,当行驶路程x(km)满足 12≤x<12.5时,按12.5km计价;当 12.5 ≤x<13时,按13km计价; 例如,等候时间t(min)满足 2.5≤t<5时,按2.5min计价收费0.8元; 当5≤t<25 ,按5min计价
请回答以下问题
- 假设行程都是整数公里,停车时间都是2.5min的整数倍,请建立车费与行程的数学模型。
- 若行驶12km,停车等候5min,应付多少车费?
- 若行驶23.7km,停车等候7min,应付多少车费?
建筑模型:
设车费为y元,其中行程车费为y1元,停车费为y2元,行程为x km,x∈z+,停车时间为t min,t ∈z+,则
数学模型是
蚂蚁逃跑问题
题:
一块长方形的金属板,四个顶点的坐标分别是(1,1), (5,1),(1,3),(5,3),在坐标原点处有一个火 焰,它使金属板受热,假设板上任意一点处的温度与该点到 原点的距离成反比,在(3,2)处有一只蚂蚁,问这只蚂蚁 应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点?
建筑模型:
假设板上任一点(x,y)处的温度为
所以
极限、最大值和积分问题的基本模型
极限问题中的基本模型
细菌生长问题
题:
某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时,与当时已有的数量成正比,即,V=KA0(K>0为比例常数)。
1.建立细菌繁殖的数学模型。
2.假设一种细菌的个数按指数方式增长,下表是收集到的近似数据。
求:开始时细菌个数可能是多少?若继续以现在的速度增长下去,假定细菌无死亡,60天后细菌的个数大概是多少?
建筑模型:
由于细菌的繁殖是不断变化的,而且数量在短时间内变化很小,所以繁殖速度可以近似地认为是恒定的。
将时间间隔t分成n等分,在第一段时间内,细菌繁殖的数量为,在第一段时间末细菌的数量为,同样,第二段时间末细菌的数量为;以此类推,最后一段时间末细菌的数量为,经过时间t后,细菌的总数是
设细菌的总数为y,则所求的数学模型为:
最大值问题中的基本模型
海报设计问题
题:
现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为128平方分米,上下空白个2分米,两边空白个1分米,如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小?
建筑模型:
这个问题可以通过求一元函数的最大值来解决
使得下面的公式可以最小化
在
令此式对x的导数为0,解得: x=16,此时y=8,可使空白面积最小。
工人生产力
题:
对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明,一个中等水平的工人早上8:00开始工作,在t小时之后,生产出 Q(t)=-t^3+9t^2+12t 个晶体管收音机。 问:在早上几点钟这个工人的工作效率最高?
建筑模型:
工作效率最高,即生产率最大,此题中,工人在t时刻的生产率为产量Q关于时间t的变化率:Q’(t),则问题转化为求Q’(t)的最大值
工人的生产力是
比较R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知t=3时,即上午11:00,工人的工作效率最高。
最大利润问题
题:
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁,当地牌子进价每听30美分,外地牌子的进价每听40美分。店主估计,如果当地牌子的每听卖x美分,外地牌子卖y美分,则每天可卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁,80+6x-7y听外地牌子的果汁。问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益?
建筑模型:
每天的总回报是一个二元函数:
令,,则有驻点x=53,y=55 判断可知(53,55)为最大值点。
积分问题中的基本模型
商品仓储成本
题:
一零售商收到一船共10000公斤大米,这批大米以常量每月2000公斤运走,要用5个月 时间,如果贮存费是每月每公斤0.01元,5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元?
建筑模型:
令Q(t)表示t个月后贮存大米的公斤数,则Q(t)=10000-2000t
将区间0≤t≤5分为n个等距的小区间,任取第j个小区间,区间长度为,在这个小区间中,每公斤贮存费用=0.01△t
第j个小区间的贮存费=0.01Q(tj)△t
总仓储费 =
由定积分定义:
总仓储费 =
平均车速问题
题:
某公路管理处在城市高速公路出口处,记录了几个星期内平均车连行驶速度,数据统计表明:一个普通工作日的下午1:00至6:00之间,次口在t时刻的平均车辆行驶速度为: S(t)=2t^3-21t^2+60t+40(km/h) 左右,试计算下午1:00至6:00内的平均车辆行驶速度?
建筑模型:
此题是求函数s(t)在区间[1, 6]内的平均值
一般来说,连续函数在一个区间上的平均值等于该函数在这个区间上的定积分除以区间的长度。
平均车速为
经济问题的基本模型
经济问题的基本功能
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0,可变成本为c1.
(1)总成本函数:
(2)供给函数:
(3)需求函数:
(4)价格函数:
(5)收益函数:
(6)利润函数:
(7)边际成本函数:
(8)边际收益函数:
(9)边际利润函数:
示例说明
示例1:
某品牌收音机每台售价90元,成本为60元,厂家为鼓励 销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多 订购一台,售价就降低1分(例如某商行订购300台,订购量 比100台多200台,于是每台就降价0.01×200=2元,商行可 按每台88元的价格购进300台)。但最低价格为75元/台。
(1)建立订购量x与每台的实际售价p的数学模型。
销售价格和订单数量总结为以下数学模型:
(2)建立利润L与订购量x的数学模型。
每台利润是实际售价p与成本60元之差,所以 L=(p-60)x
(3)当一商行订购了1000台时,厂家可获利润多少?
当x≤100时,每台售价90元;当订购量超过1600台时,每台售价75元;当订购量在100到1600台之间时,每台售价为90-(x-100) ×0.01
示例2:
一房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180 元时,公寓会全部租出去,当租金每月增加10元时,就有一 套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20元的整修维 护费。
(1)建立总收入R与租金x之间的数学模型。
总收入R等于租出的公寓数 50-((x-180) /10)乘以每套公寓的纯利润x-20
(2)当房租定为多少时可获得最大收入?
得x=350(元/月)
示例3:
某不动产商行能以5%的年利率借得贷款,然后它又把 此款贷给顾客。若他能贷出的款额与他贷出的利率的平方成 反比(利率太高无人借贷)。
(1)建立年利率x与利润p间的数学模型。
贷出的款额为k/x^2,k>0为常数,商行可获得利润:
(2)当以多大的年利率贷出时,能使商行获得利润最大?
求当x取何值时,p最大。
得x=0.1,即贷出年利率为10%时,商行获得利润最大。
线性代数模型
所谓状态转换问题,就是讨论系统在一定条件下是否可以逐步从一种状态转换到另一种状态,如果可以,应该如何实现?
人、狗、鸡、米过河的问题
题:
这是一个众所周知且非常简单的智力游戏。有人想带着狗、鸡、米过河,但船只能载一件东西过河,除了人要划船。人不在时,狗会咬鸡,鸡会吃米饭。问这个人该怎么做。怎么过河。
建筑模型:
在本问题中,可采取如下方法:一物在此岸时相应分量为1,而在彼岸时则取 为0,例如(1,0,1,0)表示人和鸡在此岸,而狗和米则在对岸。
- (i)可取状态
根据题意,并非所有状态都是允许的,例如(0,1,1,0)就是一个不可取的状态。本题中可取状态(即系统允许的状态)可以用穷举法列出来,它们是:
- (ii)可取运算:状态转移需经状态运算来实现。
在实际问题中,摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量(转移向量),用它来反映摆渡情况。例如 (1,1,0,0)表示人带狗摆渡过河。根据题意,允许使用的转移向量只能有(1,0,0,0,)、(1,1,0,0)、 (1,0,1,0)、(1,0,0,1)四个。
规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与 转移向量之和为一新的状态向量,其运算为对应分量相加, 且规定0+0=0,1+0=0+1=1,1+1=0。
在具体的转换中,只考虑从期望状态到期望状态的转换。问题变成:
由初始状态(1,1,1,1)出发,经奇数次上述运算转化为(0,0,0,0)的转移过程。
可以分析如下:
(第一次过河)
(第二次穿越)
以下可以继续进行,直到达到转移目的。上面的分析其实是穷举法,不适合大规模的问题。
常染色体遗传模型
在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因时,基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基 因A和a控制的,(A、a为表示两类基因的符号)那么就有三种基因对,记为AA,Aa,aa。
下面给出了亲本基因型的所有可能组合,以及它们的后代形成每种基因型的概率
例子:
农场的植物园中某种植物的基因型 为AA,Aa和aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后, 这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何?
假设令n=0,1,2,…
(i)设,和分别表示第n代植物中,基因型 为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分比 。令为第n代植物的基因型分布:(表示植物基因型的初始分布(即培育开始时的分布))
很明显
(ii)第n代的分布与 第n-1代的分布之间的关系是通过表确定的。
造型
根据假设(ii),先考虑第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型与AA型结合。后代全部是AA型;第n-1代的Aa型与AA型结合,后代是AA型的可能性为 1/2,而 第n-1代的aa型与AA型结合,后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
将(2)、(3)、(4)式相加,得
根据假设(I),可递推得出:
对于(2)式、(3)式和(4)式,采用矩阵形式简记为
其中(这里M为转移矩阵的位置)
由(5)式递推,得
(6)式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。 为了计算出,我们将M对角化,即求出可逆矩 阵P和对角库D,使,因而有
在
这里,,是矩 阵M的三个特征值。对于 (5)式中的M,易求得它的特征值和特征向量:
所以
所以
通过计算,,所以我们有
这是
所以有
即在极限的情况下,培育的植物都是AA型。 若在上述问题中,不选用基因AA型的植物与每一植物结合,而是将具有相同基因型植物相结合,那么后代具有三种基因型的概率如下
和,其中
M的特征值为
通过计算,可以解出与,相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2,及与相对应的特征向量e3:
所以
解决方案必须:
所以
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作者:左手的明天
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