一、简介

代码附在文末

1. R/S分析法起源

“Hurst 指数”或“Hurst 系数”由研究员Harold Edwin Hurst在研究罗河旱涝更替的情况时，为研究水利的实际问题发明，以衡量时间序列的长期记忆能力。Hurst 指数又被称为“指数依赖性”或“指数长期依赖性”，它能够量化时间序列的相对趋势。

现在有很多 Hurst 指数估计值的算法，最有名的就是 Mandelbrot 和 Wallis 基于 Hurst 的水利研究结果使用的重标极差 R/S 方法。

2. Hurst指数定义

设有一个序列，是观测到的时间跨度，是前个值的取值范围，是它们的标准差，符号表示求期望值，是一个常数。则序列的 Hurst指数（后面以表示）的原始定义如下式所示：

3. R/S 分析法 Hurst 指数的估计

利用 R/S 分析法，把一个长度总共为的时间序列分成长度分别为的短序列。对于每一个，便可以计算其重标极差。

又因为数据的 Hurst 指数满足幂定律(1)式 ，便可以画出关
在的图中，的值是通过拟合直线的斜率得到的。

2.算法伪代码

任意长度序列() Hurst 指数计算流程：

三、Python代码

代码中使用到了numpy库：

pip install -i https://mirrors.aliyun.com/pypi/simple numpy

计算 Hurst 指数代码如下：

def Hurst(ts):
    '''
    Parameters
    ----------
    ts : Iterable Object.
        A time series or a list.

    Raises
    ------
    ValueError
        If input ts is not iterable then raise error.

    Returns
    -------
    H : Float
        The Hurst-index of this series.
    '''
    if not isinstance(ts, Iterable):
        raise ValueError("This sequence is not iterable !")
    ts = np.array(ts)
    # N is use for storge the length sequence
    N, RS, n = [], [], len(ts)
    while (True):
        N.append(n)
        # Calculate the average value of the series
        m = np.mean(ts)
        # Construct mean adjustment sequence
        mean_adj = ts - m
        # Construct cumulative deviation sequence
        cumulative_dvi = np.cumsum(mean_adj)
        # Calculate sequence range
        srange = max(cumulative_dvi) - min(cumulative_dvi)
        # Calculate the unbiased standard deviation of this sequence
        unbiased_std_dvi = np.std(ts)
        # Calculate the rescaled range of this sequence under n length
        RS.append(srange / unbiased_std_dvi)
        # While n < 4 then break
        if n < 4:
            break
        # Rebuild this sequence by half length
        ts, n = HalfSeries(ts, n)
    # Get Hurst-index by fit log(RS)~log(n)
    H = np.polyfit(np.log10(N), np.log10(RS), 1)[0]
    return H

重新生成序列的代码如下：

def HalfSeries(s, n):
    '''
    if length(X) is odd:
        X <- {(X1 + X2) / 2, ..., (Xn-2 + Xn-1) / 2, Xn}
        n <- (n - 1) / 2
    else:
        X <- {(X1 + X2) / 2, ..., (Xn-1 + Xn) / 2}
        n <- n / 2
    return X, n
    '''
    X = []
    for i in range(0, len(s) - 1, 2):
        X.append((s[i] + s[i + 1]) / 2)
    # if length(s) is odd
    if len(s) % 2 != 0:
        X.append(s[-1])
        n = (n - 1) // 2
    else:
        n = n // 2
    return [np.array(X), n]

四、代码测试

1. 数据

选择一块比特币价格数据可以认为是一个具有自相关属性的时间序列。数据如下：

编写代码：

X, Y = [], []
for i in range(14, 501):    
    X.append(i)
    Y.append(Hurst([random() for i in range(k)]))

以连续14日（两周）的数据作为单个序列，计算每个序列的 Hurst 指数，绘制图像如下：

2. 结论

蓝色曲线为比特币的 Hurst 指数数据，其 Hurst 指数在 0.75 左右，说明 14 日内比特币的价格数据是具有一定自相关能力的时间序列。

黄色曲线为随机序列的 Hurst 指数，其值稳定在 0.5 左右，符合随机游走时间序列的 Hurst 指数接近于 0.5 的结论。

五、总结

我不喜欢写总结。