周志华先生《机器学习》一书学习笔记
记录学习过程
本博客记录Chapter12

1 基础知识

计算学习理论（computational learning theory）：关于通过“计算”来进行“学习”的理论，即关于机器学习的理论基础，其目的是分析学习任务的困难本质，为学习算法体统理论保证，并根据结果指导算法设计。

对于二分类问题，给定样本集，。假设所有样本服从一个隐含未知的分布，所有样本均独立同分布（independent and identically distributed）。

令为样本到的映射，其泛化误差为

对的经验误差为

由于D是的独立同分布采样，因此的经验误差的期望等于其泛化误差。在上下文明确时，我们将和分别简记为和。 令为的上限，即；我们通常用表示预先设定的学得模型所应满足的误差要求，亦称“误差参数”。

我们将研究经验误差和泛化误差之间的逼近程度；若在数据集上的经验误差为0，则称与D一致，否则称其不一致。对于任意两个映射，用不合（disagreement）来度量他们之间的差别：

我们将使用几个常见的不等式：

• Jensen不等式：对任意凸函数，有
  
  
• Hoeffding不等式：若为个独立随机变量，且满足，对任意，有
  
  
• McDiarmid不等式：若为个独立随机变量，且满足，函数满足：
  
  那么对于任何 ，我们有
  
  

2 PAC学习

概率近似正确理论（Probably Approximately Correct，PAC）：

• 先介绍两个概念：
  
• ：概念类。表示从样本空间到标签空间的映射，可以对任意样本做。
  
• ：假设类。学习算法聚合了它认为可能形成的目标概念。
  
• 如果，则表示该假设可以以与ground truth标签一致的方式完全分离所有示例，该问题对于学习算法而言称为“可分离”；否则称为“形影不离”
  
• 对于训练集，我们希望学习算法学习到的模型所对应的假设尽可能接近目标概念。我们希望以更大的确定性来学习一个更好的模型，即学习一个误差达到预设上限的概率更大的模型，也就是“概率近似正确”的意思。形式上，令表示置信度，可以定义为：
  
• PAC辨识：对，所有的和分布，若存在学习算法，其输出假设满足：
  
  则称学习算法能从假设空间中PAC辨识概念类。这样的学习算法能以较大的概率(至少) 学得目标概念的近似 (误差最多为)。在此基础上可定义:
  
• PAC可学习：令表示从分布中独立同分布采样得到的样例数目，，对所有分布，若存在学习算法和多项式函数（样例数目与误差、置信度、数据本身的复杂度、目标概念的复杂度都有关），使得对于任何，学习算法能从假设空间中PAC辨识概念类，则称概念类对假设空间而言是PAC可学习的，有时也简称概念类是PAC 可学习的。
  
• PAC学习算法：满足PAC可学习的算法。（假定学习算法处理每个样本的时间为常数，因此的时间复杂度等价于样本复杂度。于是，我们对算法时间复杂度的关心就转化为对样本复杂度的关心）
  
• 样本复杂度（Sample Complexity）：满足的最小的。
  
• PAC学习中一个关键因素是假设空间H的复杂度。H包含了学习算法所有可能输出的假设，若在PAC学习中假设空间与概念类完全相同，即H=C，这称为”恰PAC可学习” (properly PAC learnable)。直观地看，这意味着学习算法的能力与学习任务”恰好匹配“。
  然而，这个要求拥有来自概念类的所有候选假设似乎是合理的，但并不实用，因为在现实世界的应用中我们通常对概念类一无所知，更不用说获得一个假设空间和概念类完全一样学习算法。显然，更重要的是研究假设空间与概念类不同的情况，即。一般来说，越大，越有可能包含任何目标概念，但越难从中找到具体的目标概念。 当它是有限时，我们称之为“有限假设空间”，否则称为“无限假设空间”。
  

3 有限假设空间

3.1 可分情形

对于PAC来说，只要训练集的规模能使得学习算法以概率找到目标假设的近似即可。

首先估计泛化误差大于但仍然在训练集上表现完美的假设的概率。假设的泛化误差大于，对于从分布随机抽样得到的任意样本，我们有：

由于包含例子，和一致的概率为：

我们事先并不知道学习算法会输出哪个假设，但我们只需要保证泛化误差大于，并且在训练集上完美的多个假设的出现概率之和不大于比。

令上式不大于

可用的

由此可知，有限假设空间都是PAC可学习的，所需的样例数目如上式所示，输出假设的泛化误差随样例数目的增多而收敛到 0，收敛速率为。

3.2 不可分情形

当时，我们的学习算法无法学习到目标概念的近似，但是当假设空间给定时，必然存在泛化误差最小的假设，找到这个假设的近似也是一个不错的目标。 .

中泛化误差最小的假设是，以此为目标可将PAC学习推广到的情况，称为**”不可知学习“**（agnostic learning）。其概念如下：

令表示从分布，中独立且相同的分布采样的样本数，对于所有分布，如果存在学习算法和多项式函数，使得对于任何，学习算法可以从满足下列方程的假设空间 假设：

则称假设空间是不可知PAC学习的。

4 VC维

VC维：假设空间的VC维是能被打散的最大示例集的大小：

例如对二分类问题来说，m个样本最多有个可能结果，每种可能结果称为一种“对分”，若假设空间能实现数据集D的所有对分，则称数据集能被该假设空间打散。VC维指能被打散的最大示例集的大小。

应注意到，VC维与数据分布无关！在数据分布未知时，仍能计算出假设空间的VC维。

若假设空间的VC维是，则对任意整数，有：

同时任何VC维有限的假设空间都是（不可知）PAC学习的。

5 Rademacher复杂度

Rademacher 复杂度 (Rademacher complexity) 是另一种刻画假设空间复杂度的途径，与VC维不同的是，它在一定程度上考虑了数据分布。

考虑实值函数空间，令。函数空间关于的经验Rademacher复杂度

经验Rademacher复杂度衡量了函数空间与随机噪声在集合中的相关性。通常我们希望了解函数空间在上关于分布的相关性，因此，对所
从 采样的 IID 有一个大小为 的集合 。

假设空间的Rdemacher复杂度与增长函数满足

6 稳定性

顾名思义，算法的“稳定性”考察的是当输入发生变化时，算法的输出是否会发生显着变化。学习算法的输入是训练集，所以我们首先定义训练集的两个变体：

• remove：，表示去掉中的第个例子得到的集合
  
  
• 替换：，表示替换中的第1个样本得到的集合
  
  

损失函数捕获预测标记和真实标记之间的差异：

算法的均匀稳定性：

因此，移除示例的稳定性包括替换示例的稳定性。

若学习算法符合经验风险最小化原则（ERM）且稳定的，则假设空间是可学习的。稳定性通过损失函数与假设空间的可学习联系在了一起。