窗函数设计FIR滤波器

实验原理😊

有限单位脉冲响应序列近似于；由于通常是一个无限长的序列并且是非因果的，因此使用了窗口函数；

然而截断无限长序列来得到有限长序列，可能破坏了序列的均匀收敛性，在频谱中波纹幅度响应很大；那么为了减小波纹幅度，可以加大窗的长度N；或使用不同类型的窗函数

常见的窗函数🐱‍🏍

矩形窗Boxcar😉

巴特利特窗Bartlett😁

也称为三角窗

汉宁窗Hanning😯

也称为升余弦窗

汉宁窗的光谱幅度：

式中是矩形窗的频谱幅度函数。这3部分频谱相加使旁瓣抵消，让能量集中在主瓣；代价是使主瓣的宽度翻倍。

哈明窗Hamming😛

也称为改进余弦窗

布莱克曼窗Blackman😚

凯泽窗Kaiser🤗

其中是第一类修正的零阶贝塞尔函数

设计步骤👾

1. FIR滤波器的指标：通带截止频率；阻带截止频率；通带衰减；阻带衰减。
2. 根据允许的过渡带宽及阻带衰减，初步选择窗函数与N值。
3. 如果要使用理想的低通近似，则需要理想的低通脉冲响应。其理想的低通截止频率应选择为：
   
4. 将与窗函数相乘得FIR滤波器的冲激响应：
   
5. 计算FIR数字滤波器的频率响应，是否达到指标：
   
   由上式计算幅值响应 和相位响应 ：
   

MATLAB实现🤠

技术指标：

• 通带截止频率：；阻带截止频率：
• 通带衰减：；阻带衰减：

clear;clc;
%指标
wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi;
N = 51;
n = [0:1:N-1];
%理想低通截止频率
wc = (wp+ws)/2;
%理想低通的冲激响应
hd = idea_lowfilter(wc,N);
%FIR滤波器的冲激响应
%矩形窗：h1；汉宁窗：h2；哈明窗：h3；凯泽窗：h4
w_box = boxcar(N)';
w_han = hann(N)';
w_ham = hamming(N)';
w_kaiser = kaiser(N)';
h1 = hd.*w_box;
h2 = hd.*w_han;
h3 = hd.*w_ham;
h4 = hd.*w_kaiser;
%计算频率响应
[H1,w1]=freqz(h1,1);
[H2,w2]=freqz(h2,1);
[H3,w3]=freqz(h3,1);
[H4,w4]=freqz(h4,1);
%plot
figure
stem(n,hd);title('理想冲激响应');

filplot(n,w1,h1,w_box,H1,'矩形窗');
filplot(n,w2,h2,w_han,H2,'汉宁窗');
filplot(n,w3,h3,w_ham,H3,'哈明窗');
filplot(n,w4,h4,w_kaiser,H4,'凯泽窗');

%plot
function filplot(n,w,response,win,frequency,type)
    figure
    subplot(2,2,1);stem(n,response);title('实际冲激响应');
    subplot(2,2,2);stem(n,win);title(type);
    subplot(2,2,3);plot(w/pi,20*log10(abs(frequency)));title('幅度响应');
    subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(frequency));title('相位响应');
end
    

结果在这里😏：

• boxcar

• hanning

• hamming
  
• kaizer

• 窗函数N取值对幅度响应的影响

1. N=61

2. N=81

• 窗函数法设计FIR滤波器的主要特点

窗函数设计FIR滤波器是从时域进行设计的。理想低通滤波器加窗处理后，主要受两方面影响。

1. 🤔滤波器的频率响应在不连续点出现过渡带，过渡带的宽度取决于窗函数主瓣的宽度，一般过渡带宽度与N成反比
2. 🤔滤波器在通带和主带产生波纹，主要是窗函数的频谱的旁瓣造成；旁瓣的高度要尽可能小，让能量集中在主瓣，减小通带和阻带之间的波纹；主瓣宽度尽可能窄，以获得尽可能陡的过渡带，即N要大。但是这两点又是互相矛盾的：降低旁瓣高度那么主瓣会变宽，让主瓣变窄那么旁瓣会变高。

因此可以使用不同类型的窗函数来改善不均匀收敛

器的频率响应在不连续点出现过渡带，过渡带的宽度取决于窗函数主瓣的宽度，一般过渡带宽度与N成反比
2. 滤波器在通带和主带产生波纹，主要是窗函数的频谱的旁瓣造成；旁瓣的高度要尽可能小，让能量集中在主瓣，减小通带和阻带之间的波纹；主瓣宽度尽可能窄，以获得尽可能陡的过渡带，即N要大。但是这两点又是互相矛盾的：降低旁瓣高度那么主瓣会变宽，让主瓣变窄那么旁瓣会变高。

因此可以使用不同类型的窗函数来改善不均匀收敛

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