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introduce

Metropolis Hastings 算法是一种非常简单的算法，用于从难以采样的分布中生成样本。

假设我们想从分布 π 中采样，我们称之为“目标”分布。为简单起见，我们假设 π 是实线上的一维分布，尽管它可以很容易地扩展到一维之外（见下文）。

MH 算法通过模拟马尔可夫链来工作，其平稳分布为 π。这意味着，从长远来看，来自马尔可夫链的样本看起来像来自 π的样本。正如我们将看到的，该算法非常简单和灵活。

MH算法

转移核

要实现 MH 算法，用户必须提供一个“转移核”QQ。转移核只是一种在 给定当前位置（例如 xx）的情况下随机移动到空间中新位置（例如 y）的方式。也就是说，Q 是给定 x 在 y 上的分布，我们将其写成 Q(y|x)。在许多应用中，Q将是一个连续分布，在这种情况下 Q(y|x) 将是 y 上的密度，因此∫Q(y|x)dy=1（对于所有 x）。

例如，从当前位置 x 生成新位置 y 的一种非常简单的方法是向 x添加一个 N(0,1) 随机数。即设置y=x+N(0,1)，或者转移y|x∼N(x,1)。所以

这种在当前位置x加上一些随机数得到y的核，在实际中经常使用，被称为“随机游走”核。

MH算法

使用转移核 Q 从目标分布 π 中采样的 MH 算法包括以下步骤：

• 初始化，X1=x1 。
• 对于 t=1,2，…从 Q(y|xt)中采样 y。将 y 视为 xt+1 的“建议”值。计算AA通常被称为“接受概率”。以概率 A“接受”提议的值，并设置 xt+1=y。否则设置 xt+1=xt。
• Metropolis 算法 请注意，上面给出的示例随机游走建议 Q 对于所有 x,y 满足 Q(y|x)=Q(x|y) 任何满足这一点的建议都称为“对称”。当 Q 是对称时，MH 算法中 A 的公式 简化为：  

该算法的这种特殊情况，具有 Q 对称，首先由 Metropolis 等人在 1953 年提出，因此它有时被称为“Metropolis 算法”。

Example

为了帮助理解 MH 算法，我们现在做一个简单的例子：我们实现算法以从指数分布中采样：

当然，以其他方式从指数分布中采样会容易得多。我们只是用它来说明算法。

请记住，π 被称为“目标”分布，因此我们调用函数来计算 π  target：

现在我们实现 MH 算法，使用上面提到的简单正态随机游走转移核 Q。

这是代码：

x = rep(0,10000)
x[1] = 3     #初始化；我任意地将其设置为3
for(i in 2:10000){

  if(){
    x[i] = proposed_x       # 以最小(1,A)的概率接受移动。
  } else {
    x[i] = current_x        # 否则就 "拒绝 "移动，并留在原地。
  }
}

运行此代码后，我们可以绘制马尔可夫链 x 访问的位置（有时称为轨迹图）。

请记住，我们设计此算法是为了从指数分布中采样。这意味着（只要我们运行算法足够长的时间！）x 的直方图应该看起来像一个指数分布。在这里我们检查一下：

hist(x)

lines

x 中的值的直方图确实提供了与指数分布的紧密拟合。

结束语

MH 算法的一个特别有用的特性是，即使 只知道π 是一个常数，它也可以实现：也就是说，对于一些已知的 f，π(x)=cf(x) , 但未知常数 c。这是因为该算法仅通过比率依赖于π 。

这个问题出现在贝叶斯应用中，其中后验分布与先验概率成正比，但比例常数通常是未知的。因此，MH 算法对于从后验分布进行采样以执行难以解析的贝叶斯计算特别有用。

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