欢迎访问我的博客首页。

7. 附录

7.1 数学期望与协方差矩阵

  设 Z 是离散型随机变量 X, Y 的函数 Z = g(X, Y)（g 是连续函数），那么，Z 是一个一维随机变量。假设离散型随机变量 (X, Y) 的分布律为 ，i，j = 1, 2, …。则有

  设 n 维随机变量 的二阶混合中心距 ，i，j = 1，2，…，n 都存在，则矩阵

为 n 维随机变量 的协方差矩阵。由于 ，所以这个矩阵是一个对称矩阵。

  一般，n 维随机变量的分布是不知道的，或者是太复杂，以致在数学上不易处理，因此在实际应用中协方差矩阵就显得重要了。

7.2 三维坐标的协方差矩阵

  有 n 个去质心的三维空间坐标 ，。我们可以把这 n 个三维坐标看成三维随机变量 ，其取值为

因为 X 取 时 Y 取 ，Z 取 ，所以这三个随机变量不相互独立，任意两个随机变量也不相互独立。随机变量 X 与随机变量 Y 的协方差

因为去质心坐标的均值为 0，所以 E(X) = E(Y) = 0。于是公式 (7.2.2) 可以写成

  根据公式 (7.1.1)，公式 (7.2.3) 可以写成

这是因为 X 和 Y 不相互独立：X 取 时 Y 取 ，且 X 在 n 个值 的取值概率相等。同理，，。

  根据公式 (7.1.2) 和公式 (7.2.4)，三维随机变量 的协方差矩阵是

7.3 齐次质心坐标的性质

  1. 已知 ，证明 。

  证明：假设世界坐标系到相机坐标系的变换是 ，于是 。

  2. 已知 ，证明 。

  证明：假设质心坐标是 。因为 ，所以 。

7.4 透视投影与正交投影

  物体在点光源下的投影称为透视投影；物体在平行光线下的投影称为正交投影，如物体在阳光的投影。焦距越大，相机的投影越接近正交投影。

7.5 范数

  假设 ，则 的 p 范数

当 p = 2 时，二范数 通常简写为 。假设 ，则

8. 参考文献

1. EPnP 论文，洛桑联邦理工学院。
2. EPnP，知乎专栏。
3. EPnP，知乎专栏。
4. PCA，CSDN。
5. 豪斯霍尔德变换法的 QR 分解，CSDN。