数字图像处理学习总结(2)：

频率域滤波

前言

继前文数字图像处理学习总结(1)：灰度变换与空间滤波，接着学习了冈萨雷斯的《数字图像处理》第三版的频率域滤波。

一、频率域基本知识

1.1 傅里叶变换

基本概念：
（1）任何周期函数可以表示为不同频率的正弦和或余弦和，每个正弦项或余弦项乘以不同的傅里叶级数。
（2）非周期函数（曲线面积有限）可以表示为正弦和或余弦和乘以加权函数的积分。

公式：

作用：
（1）傅里叶级数或变换表示的特性可以通过傅里叶反变换重建，不会丢失任何信息。
（2）可从函数原始域变换到傅里叶域，从而工作于傅里叶域，并返回原始域不丢失信息。

傅里叶谱：
原点处是频谱的最大分量，称为变换时的直流分量，包含图像平均的灰度信息。

相位：
相位是图像角度的阵列，携带较多关于图像中可辩别物体的定位信息。

1.2 取样定理

基本概念：
如果以超过函数最高频率的两倍的取样率来获得样本，连续的带限函数可以由它的样本集完全恢复。即对于一个连续的带限函数，用大于函数两倍最高频率的取样率来取样，不会带来信息损失。

公式：

奈奎斯特取样率：
完全等于最高频率两倍的取样率，称为奈奎斯特取样率。

1.3 混淆

基本概念：
由函数欠取样导致的效果，被称为频率混淆。

特点：
（1）限制函数的持续时间，会引进无限的频率分量。故而，用有限长度的取样和记录工作，混淆是不可避免的。
（2）通过平滑输入函数减少高频分量来降低混淆的影响的方法，称为抗混淆。

现象：
（1）处理具体很强边缘内容的图像时，混淆看起来就像是块状图像分量，称为锯齿。
（2）莫尔模式，扫描介质印刷物，在具有周期分量的图像中，周期间隔与取样间隔可比时，会出现波纹。

1.4 频率域特性

（1）频率域中，低频对应于图像变化缓慢的灰度分量；高频对应图像较快的灰度变化量，即物体的边缘或者其他图像分量。
（2）在空间域异常困难或者不可能用公式表达的任务在频率域却容易实现。在频率域选择一个特定的滤波器，该方法的实际实现通常在空间完成。

二、频率域滤波器

频率域滤波由一幅图像的傅里叶变换并计算其反变换得到处理后的结果组成。基本的滤波公式如下所示：

F(u,v)是输入图像f(x,y)的DFT，H(u,v)是滤波函数（简称为滤波器），g(x,y)是滤波后的图像。我们认为衰减高频而通过低频的滤波器（低通滤波器）将模糊一幅图像，具体相反特性的滤波器（高通滤波器）将增强尖锐的细节，会导致图像对比度的降低。

2.1 低通滤波器

低通滤波器在频率域衰减高频，考虑三种类型的低通滤波器：理想滤波器，布特沃斯滤波器和高斯滤波器。这三种滤波器涵盖了从非常尖锐（理想滤波器）的滤波到非常平滑（高斯滤波器）的滤波范围。

振铃效应：
振铃效应典型表现是在图像灰度剧烈变化的邻域出现类吉布斯（Gibbs）分布的振荡。振铃效应产生的直接原因是图像退化过程中信息量的丢失，尤其是高频信息的丢失，其严重降低了复原图像的质量，并且使得难于对复原图像进行后续处理。

理想低通滤波器：

在H(u,v)=1和H(u,v)=0之间的过滤点称为截止频率，即截止频率为D0。
振铃现象是理想滤波器的一种特性，sinc函数的中心波瓣是引起模糊的主因，而外侧较小的波瓣是造成振铃的主要原因。

布特沃斯低通滤波器：

BLPF在通过频率与滤除频率之间没有表现出尖锐的不连续性，截止频率点是D(u,v)=D0的点。
在空间域的一阶布特沃斯滤波器没有振铃现象；在二阶滤波器，振铃现象很难察觉；更高阶数的滤波器的振铃现象会很明显。因此，我们可以选择BLPF的阶数对有效低通滤波和振铃特性进行较好的折中。

高斯低通滤波器：

D0是截止频率，当D(u,v)=D0时，GLPF下降到琦最大值的0.607处。
GLPF与二阶BLPF相比，平滑效果较差一些，但是GLPF没有振铃，这是一个重要特性，例如在任何类型的人工缺陷不可接受的情况（如医学影响）下。

2.2 高通滤波器

边缘与其他灰度的急剧变化与高频分量有关，所以图像的锐化可以在频率域通过高通滤波实现，高通滤波器会衰减傅里叶变换中的低频分量而不会扰乱高频信息。与低通滤波器类似，高通滤波器可以分为理想高通滤波器、布特沃斯高通滤波器与高斯高通滤波器。

理想高通滤波器：

布特沃斯高通滤波器：

高斯高通滤波器：

高频强调滤波器：

高通滤波器将直流项设置为0，把滤波后的图像平均灰度较小为0；与高通滤波器不同的是，高频强调滤波器加上了常数k决定了影响最终结果的高频比例。

同态滤波：
照射-反射模型可用于开发一种频率域处理，通过同时压缩灰度范围和增强对比度来改善一幅图像的表现。一幅图像可表示为其照射分量和反射分量的乘积。

取对数并傅里叶变换：

加入滤波器H(u，v):

反傅里叶变换，滤波后的图像：

方法的关键是照射分量和反射分量的分离；其中，图像的照射分量通常由慢的空间变化来表征，而反射分量往往引起突变，特别是在不同物体的连接部分。使用同态滤波器可以更好地控制照射分量和反射分量，选取两个控制系数。

如果YL和YH选定，而且YL<1且YH>1，那么滤波器函数趋向于衰减低频即照射的贡献，而增强高频即反射的贡献，最终结果是同时进行动态范围的压缩和对比度的增强。