用1层隐藏层的神经网络分类二维数据
现在是时候建立你的第一个神经网络了，它将具有一层隐藏层。你将看到此模型与你使用逻辑回归实现的模型之间的巨大差异。
你将学到如何：
- 实现具有单个隐藏层的2分类神经网络
- 使用具有非线性激活函数的神经元，例如tanh
- 计算交叉熵损失
- 实现前向和后向传播
1- 安装包
让我们首先导入在作业过程中需要的所有软件包。
- numpy是Python科学计算的基本包。
- sklearn提供了用于数据挖掘和分析的简单有效的工具。
- matplotlib 是在Python中常用的绘制图形的库。
- testCases提供了一些测试示例用以评估函数的正确性
- planar_utils提供了此作业中使用的各种函数
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from testCases import *
import sklearn
import sklearn.datasets
import sklearn.linear_model
from planar_utils import plot_decision_boundary, sigmoid, load_planar_dataset, load_extra_datasets
%matplotlib inline
np.random.seed(1)
2- 数据集
首先，让我们获取处理的数据集。以下代码会将”flower”2分类数据集加载到变量X和Y中。
X, Y = load_planar_dataset()
使用matplotlib可视化数据集。 数据看起来像是带有一些红色（标签y = 0）和一些蓝色（y = 1）点的“花”。 我们的目标是建立一个适合该数据的分类模型。
plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c = Y.reshape(X[0, :].shape), s = 40, cmap = plt.cm.Spectral)
<matplotlib.collections.PathCollection at 0x1f9003a74e0>
现在你有：
- 包含特征(x1, x2)的numpy数组（矩阵）X
- 包含标签（红色：0，蓝色：1）的numpy数组（向量）Y。
首先让我们深入地了解一下我们的数据。
练习：数据集中有多少个训练示例？另外，变量X和Y的shape是什么？
提示：如何获得numpy数组的shape维度？
shape_X = X.shape
shape_Y = Y.shape
m = shape_X[1] # 训练数据集大小
print ('The shape of X is: ' + str(shape_X))
print ('The shape of Y is: ' + str(shape_Y))
print ('I have m = %d training examples!' % (m))
The shape of X is: (2, 400)
The shape of Y is: (1, 400)
I have m = 400 training examples!
3- 简单Logistic回归
在构建完整的神经网络之前，首先让我们看看逻辑回归在此问题上的表现。 你可以使用sklearn的内置函数来执行此操作。 运行以下代码以在数据集上训练逻辑回归分类器。
clf = sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV()
clf.fit(X.T, Y.T)
d:\vr\virtual_environment\lib\site-packages\sklearn\utils\validation.py:993: DataConversionWarning: A column-vector y was passed when a 1d array was expected. Please change the shape of y to (n_samples, ), for example using ravel().
y = column_or_1d(y, warn=True)
LogisticRegressionCV()
现在，你可以运行下面的代码以绘制此模型的决策边界：
plot_decision_boundary(lambda x:clf.predict(x), X, Y)
plt.title("Logistic Regression")
LR_predictions = clf.predict(X.T)
print ('Accuracy of logistic regression: %d ' % float((np.dot(Y,LR_predictions) + np.dot(1-Y,1-LR_predictions))/float(Y.size)*100) +
'% ' + "(percentage of correctly labelled datapoints)")
Accuracy of logistic regression: 47 % (percentage of correctly labelled datapoints)
4- 神经网络模型
从上面我们可以得知Logistic回归不适用于“flower数据集”。现在你将训练带有单个隐藏层的神经网络。
这是我们的模型：
数学原理：
例如：
根据所有的预测数据，你还可以如下计算损失:
提示：
建立神经网络的一般方法是：
- 定义神经网络结构（输入单元数，隐藏单元数等）。
- 初始化模型的参数
- 循环：
- 实现前向传播
- 计算损失
- 后向传播以获得梯度
- 更新参数（梯度下降）
我们通常会构建辅助函数来计算第1-3步，然后将他们合并为nn_model()函数。一旦构建了nn_model()并学习了正确的参数，就可以对新数据进行预测。
4.1- 定义神经网络结构
练习：定义三个变量：
- n_x：输入层的大小
- n_h：隐藏层的大小（将其设置为4）
- n_y：输出层的大小
提示：使用shape来找到n_x和n_y。另外，将隐藏层大小硬编码为4。
def layer_sizes(X, Y):
n_x = X.shape[0]
n_h = 4
n_y = Y.shape[0]
return (n_x, n_h, n_y)
X_assess, Y_assess = layer_sizes_test_case()
(n_x, n_h, n_y) = layer_sizes(X_assess, Y_assess)
print("The size of the input layer is: n_x = " + str(n_x))
print("The size of the hidden layer is: n_h = " + str(n_h))
print("The size of the output layer is: n_y = " + str(n_y))
The size of the input layer is: n_x = 5
The size of the hidden layer is: n_h = 4
The size of the output layer is: n_y = 2
4.2- 初始化模型的参数
练习：实现函数 initialize_parameters()。
说明：
- 请确保参数大小正确。 如果需要，也可参考上面的神经网络图。
- 使用随机值初始化权重矩阵。
- 使用：np.random.randn（a，b）* 0.01随机初始化维度为（a，b）的矩阵。
- 将偏差向量初始化为零。
- 使用：np.zeros((a,b)) 初始化维度为（a，b）零的矩阵。
def initialize_parameters(n_x, n_h, n_y):
np.random.seed(2)
W1 = np.random.randn(n_h, n_x) * 0.01
b1 = np.zeros((n_h, 1))
W2 = np.random.randn(n_y, n_h) * 0.01
b2 = np.zeros((n_y, 1))
assert (W1.shape == (n_h, n_x))
assert (b1.shape == (n_h, 1))
assert (W2.shape == (n_y, n_h))
assert (b2.shape == (n_y, 1))
parameters = {"W1": W1,
"b1": b1,
"W2": W2,
"b2": b2}
return parameters
n_x, n_h, n_y = initialize_parameters_test_case()
parameters = initialize_parameters(n_x, n_h, n_y)
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))
W1 = [[-0.00416758 -0.00056267]
[-0.02136196 0.01640271]
[-0.01793436 -0.00841747]
[ 0.00502881 -0.01245288]]
b1 = [[0.]
[0.]
[0.]
[0.]]
W2 = [[-0.01057952 -0.00909008 0.00551454 0.02292208]]
b2 = [[0.]]
4.3- 循环
问题：实现forward_propagation()。
说明:
- 在上方查看分类器的数学表示形式。
- 你可以使用内置在笔记本中的sigmoid()函数。
- 你也可以使用numpy库中的np.tanh()函数。
- 必须执行以下步骤：
- 使用parameters [“ …”]从字典“ parameters”（这是initialize_parameters（）的输出）中检索出每个参数。
- 实现正向传播，计算
,
,
和
（所有训练数据的预测结果向量）。
向后传播所需的值存储在cache中， cache将作为反向传播函数的输入。
def forward_propagation(X, parameters):
"""
参数：
X -- 输入数据大小(n_x, m)
parameters -- 包含参数的Python字典(初始化函数的输出)
返回值：
A2 -- 用的是sigmoid函数作为输出层的激活函数
cache -- 包含“Z1”、“A1”、“Z2”和“A2”的字典
"""
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
Z1 = np.dot(W1, X) + b1
A1 = np.tanh(Z1)
Z2 = np.dot(W2, A1) + b2
A2 = sigmoid(Z2)
assert(A2.shape == (1, X.shape[1]))
cache = {"Z1": Z1,
"A1": A1,
"Z2": Z2,
"A2": A2}
return A2, cache
X_assess, parameters = forward_propagation_test_case()
A2, cache = forward_propagation(X_assess, parameters)
print(np.mean(cache['Z1']) ,np.mean(cache['A1']),np.mean(cache['Z2']),np.mean(cache['A2']))
-0.0004997557777419913 -0.0004969633532317802 0.0004381874509591466 0.500109546852431
现在，你已经计算了包含每个示例的的
（在Python变量”A2″中），其中，你可以计算损失函数如下：
练习：实现compute_cost()以计算损失的值。
说明：
- 有很多种方法可以实现交叉熵损失。 我们为你提供了实现方法：
:
logprobs = np.multiply(np.log(A2),Y)
cost = - np.sum(logprobs) # no need to use a for loop!
（你也可以使用np.multiply()然后使用np.sum()或直接使用np.dot()）。
def compute_cost(A2, Y, parameters):
m = Y.shape[1]
logprobs = Y * np.log(A2) + (1 - Y) * np.log(1 - A2)
cost = -1 / m * np.sum(logprobs)
cost = np.squeeze(cost)
assert(isinstance(cost, float))
return cost
A2, Y_assess, parameters = compute_cost_test_case()
print("cost = " + str(compute_cost(A2, Y_assess, parameters)))
cost = 0.6929198937761265
现在，通过使用正向传播期间计算的缓存，你可以实现后向传播。
问题：实现函数backward_propagation()。
说明：反向传播通常是深度学习中最难（最数学）的部分。为了帮助你更好地了解，我们提供了反向传播课程的幻灯片。你将要使用此幻灯片右侧的六个方程式以构建向量化实现。
- 请注意， 表示元素乘法。
- 你将使用在深度学习中很常见的编码表示方法：
- dW1 =
- db1 =
- dW2 =
- db2 =
- dW1 =
- 提示：
- 要计算dZ1，你首先需要计算
。由于
是tanh激活函数，因此如果
则
。所以你可以使用
(1 - np.power(A1, 2))计算
- 要计算dZ1，你首先需要计算
def backward_propagation(parameters, cache, X, Y):
"""
参数：
parameters -- 包含参数的Python字典
cache -- 包含“Z1”、“A1”、“Z2”和“A2”的字典。
X -- 输入数据大小(2, 样例数)
Y -- “true”标签的形状向量(1, 样例数)
返回值：
grads -- 包含不同参数梯度的Python字典
"""
W1 = parameters["W1"]
W2 = parameters["W2"]
A1 = cache["A1"]
A2 = cache["A2"]
dZ2 = A2 - Y
dW2 = 1 / m * np.dot(dZ2, A1.T)
db2 = 1 / m * np.sum(dZ2, axis = 1, keepdims = True)
dZ1 = np.dot(W2.T, dZ2) * (1 - np.power(A1, 2))
dW1 = 1 / m * np.dot(dZ1, X.T)
db1 = 1 / m * np.sum(dZ1, axis = 1, keepdims = True)
grads = {"dW1": dW1,
"db1": db1,
"dW2": dW2,
"db2": db2}
return grads
parameters, cache, X_assess, Y_assess = backward_propagation_test_case()
grads = backward_propagation(parameters, cache, X_assess, Y_assess)
print ("dW1 = "+ str(grads["dW1"]))
print ("db1 = "+ str(grads["db1"]))
print ("dW2 = "+ str(grads["dW2"]))
print ("db2 = "+ str(grads["db2"]))
dW1 = [[ 7.64031222e-05 -5.31526069e-05]
[ 6.55085623e-05 -4.55760073e-05]
[-3.98134983e-05 2.77034561e-05]
[-1.65477342e-04 1.15134485e-04]]
db1 = [[-5.22957353e-06]
[-4.54546847e-06]
[ 2.72996662e-06]
[ 1.13405247e-05]]
dW2 = [[ 2.72709941e-05 2.36520302e-04 8.72185240e-05 -9.88737100e-05]]
db2 = [[0.00049421]]
问题：实现参数更新。 使用梯度下降，你必须使用（dW1，db1，dW2，db2）才能更新（W1，b1，W2，b2）。
一般的梯度下降规则：$ \theta = \theta – \alpha \frac{\partial J }{ \partial \theta }\alpha
\theta$代表一个参数。
图示：具有良好的学习速率（收敛）和较差的学习速率（发散）的梯度下降算法。
def update_parameters(parameters, grads, learning_rate = 1.2):
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
dW1 = grads["dW1"]
db1 = grads["db1"]
dW2 = grads["dW2"]
db2 = grads["db2"]
W1 = W1 - learning_rate * dW1
b1 = b1 - learning_rate * db1
W2 = W2 - learning_rate * dW2
b2 = b2 - learning_rate * db2
parameters = {"W1": W1,
"b1": b1,
"W2": W2,
"b2": b2}
return parameters
parameters, grads = update_parameters_test_case()
parameters = update_parameters(parameters, grads)
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))
W1 = [[-0.00643025 0.01936718]
[-0.02410458 0.03978052]
[-0.01653973 -0.02096177]
[ 0.01046864 -0.05990141]]
b1 = [[-1.02420756e-06]
[ 1.27373948e-05]
[ 8.32996807e-07]
[-3.20136836e-06]]
W2 = [[-0.01041081 -0.04463285 0.01758031 0.04747113]]
b2 = [[0.00010457]]
4.4- 在nn_model（）中集成4.1、4.2和4.3部分中的函数
问题：在nn_model()中建立你的神经网络模型。
说明：神经网络模型必须正确的顺序组合先前构建的函数。
def nn_model(X, Y, n_h, num_iterations = 10000, print_cost = False):
np.random.seed(3)
n_x = layer_sizes(X, Y)[0]
n_y = layer_sizes(X, Y)[2]
parameters = initialize_parameters(n_x, n_h, n_y)
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
for i in range(0, num_iterations):
A2, cache = forward_propagation(X, parameters)
cost = compute_cost(A2, Y, parameters)
grads = backward_propagation(parameters, cache, X, Y)
parameters = update_parameters(parameters, grads)
if print_cost and i % 1000 == 0:
print ("Cost after iteration %i: %f" %(i, cost))
return parameters
X_assess, Y_assess = nn_model_test_case()
parameters = nn_model(X_assess, Y_assess, 4, num_iterations=10000, print_cost=False)
print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
print("b2 = " + str(parameters["b2"]))
d:\vr\virtual_environment\lib\site-packages\ipykernel_launcher.py:5: RuntimeWarning: divide by zero encountered in log
"""
W1 = [[-2.83554662 1.72205388]
[-3.37802227 0.92947318]
[-2.54331167 2.02087066]
[ 3.37518445 -0.93029167]]
b1 = [[ 1.3407194 ]
[ 1.67353851]
[ 1.23099392]
[-1.67347162]]
W2 = [[-43.10905352 -43.84863143 -42.31070324 43.80751756]]
b2 = [[-0.93568323]]
4.5- 预测
问题：使用你的模型通过构建predict()函数进行预测。
使用正向传播来预测结果。
提示：predictions =
例如，如果你想基于阈值将矩阵X设为0和1，则可以执行以下操作： X_new = (X > threshold)
round()函数：
一般该函数遵循四舍五入原则，但是需要特别注意的是，当整数部分以0结束时，round函数一律是向下取整。
def predict(parameters, X):
A2, cache = forward_propagation(X, parameters)
predictions = np.round(A2)
return predictions
parameters, X_assess = predict_test_case()
predictions = predict(parameters, X_assess)
print("predictions mean = " + str(np.mean(predictions)))
predictions mean = 0.6666666666666666
现在运行模型以查看其如何在二维数据集上运行。运行以下代码以使用含有隐藏单元的单个隐藏层测试模型。
parameters = nn_model(X, Y, n_h = 4, num_iterations = 10000, print_cost=True)
plot_decision_boundary(lambda x: predict(parameters, x.T), X, Y)
plt.title("Decision Boundary for hidden layer size " + str(4))
Cost after iteration 0: 0.693048
Cost after iteration 1000: 0.288083
Cost after iteration 2000: 0.254385
Cost after iteration 3000: 0.233864
Cost after iteration 4000: 0.226792
Cost after iteration 5000: 0.222644
Cost after iteration 6000: 0.219731
Cost after iteration 7000: 0.217504
Cost after iteration 8000: 0.219440
Cost after iteration 9000: 0.218553
Text(0.5, 1.0, 'Decision Boundary for hidden layer size 4')
predictions = predict(parameters, X)
print ('Accuracy: %d' % float((np.dot(Y,predictions.T) + np.dot(1-Y,1-predictions.T))/float(Y.size)*100) + '%')
Accuracy: 90%
与Logistic回归相比，准确性确实更高。 该模型学习了flower的叶子图案！ 与逻辑回归不同，神经网络甚至能够学习非线性的决策边界。
现在，让我们尝试几种不同的隐藏层大小。
4.6- 调整隐藏层大小
运行以下代码（可能需要1-2分钟）， 你将观察到不同大小隐藏层的模型的不同表现。
plt.figure(figsize=(16, 32))
hidden_layer_sizes = [1, 2, 3, 4, 5, 10, 20]
for i, n_h in enumerate(hidden_layer_sizes):
plt.subplot(5, 2, i+1)
plt.title('Hidden Layer of size %d' % n_h)
parameters = nn_model(X, Y, n_h, num_iterations = 5000)
plot_decision_boundary(lambda x: predict(parameters, x.T), X, Y)
predictions = predict(parameters, X)
accuracy = float((np.dot(Y,predictions.T) + np.dot(1-Y,1-predictions.T))/float(Y.size)*100)
print ("Accuracy for {} hidden units: {} %".format(n_h, accuracy))
Accuracy for 1 hidden units: 67.5 %
Accuracy for 2 hidden units: 67.25 %
Accuracy for 3 hidden units: 90.75 %
Accuracy for 4 hidden units: 90.5 %
Accuracy for 5 hidden units: 91.25 %
Accuracy for 10 hidden units: 90.25 %
Accuracy for 20 hidden units: 90.5 %
说明：
- 较大的模型（具有更多隐藏的单元）能够更好地拟合训练集，直到最终最大的模型过拟合数据为止。
- 隐藏层的最佳大小似乎在n_h = 5左右。的确，此值似乎很好地拟合了数据，而又不会引起明显的过度拟合。
- 稍后你还将学习正则化，帮助构建更大的模型（例如n_h = 50）而不会过度拟合。
总结：
- 建立具有隐藏层的完整神经网络
- 善用非线性单位
- 实现正向传播和反向传播，并训练神经网络
- 了解不同隐藏层大小（包括过度拟合）的影响。
5- 模型在其他数据集上的性能
noisy_circles, noisy_moons, blobs, gaussian_quantiles, no_structure = load_extra_datasets()
datasets = {"noisy_circles": noisy_circles,
"noisy_moons": noisy_moons,
"blobs": blobs,
"gaussian_quantiles": gaussian_quantiles}
dataset = "noisy_circles"
X, Y = datasets[dataset]
X, Y = X.T, Y.reshape(1, Y.shape[0])
if dataset == "blobs":
Y = Y%2
plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=Y.reshape(X[0,:].shape), s=40, cmap=plt.cm.Spectral);
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