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前言
最近在复习线代,写了一份思维导图,打算分享一下有下载MindLine思维导图的朋友可以打开一下文件,文末可以下载
矩阵
定义
矩阵(matrix):一种存储数据的数阵,最早在线性方程组中,如:
我们称A为系数矩阵(cofficient matrix),B为增广矩阵(augment matrix)
同时,我们习惯在矩阵
运算
矩阵转置
主对角线元素(下标为ii即元素所在的位置行数等于列数,如
加法
要求矩阵形状一致,然后对应元素相加
数乘
常数k分配到矩阵中的每一个元素
乘法
分块
矩阵的行列式计算时可以将块矩阵当成整体计算,下面会详细介绍
共轭
矩阵中的元素实部不变,虚部变为原来的相反数
共轭转置
共轭转置本质上就是两种运算的结合,一种是共轭,另一种是转置,符号记为
特殊矩阵(补)
对称矩阵
埃尔米特矩阵
正交矩阵
带状矩阵
酉矩阵
上下三角矩阵
相似矩阵
相合矩阵
范德蒙(Vandermonde)矩阵
每一列或行呈几何级数关系,其行列式的值为:
对角矩阵(diagonal matrix)
也叫标量阵
夹克比矩阵(Jacobian matrix)
存储函数的偏导数
旋转矩阵(Rotation matrix)
元素为三角函数
矩阵分解(补)
1.LU分解:
A=LU,L为为下三角,U为上三角
2.谱分解:
3.SVD分解:
4.取用其中AA^{T}非零特征值并存入
5.满秩分解
6.LUP分解
在LU分解前提下
矩阵的幂求法
在平常A
1.对角化:
2.幂零矩阵:将矩阵拆分成一个纯量阵以及幂零矩阵(
3.行列拆分:若矩阵每一行(列)成几何级数关系
4.分块矩阵:
5.找规律
6.Hamilton-Cayley定理:
由
那么我们有
逆矩阵
伴随矩阵
符号:
性质:
基础概念
概念:已知AB=E,那么AB这种关系类似实数里面的倒数关系,因此引入矩阵中逆的概念,B=A^{-1}\\
条件:方阵(非奇异矩阵)且矩阵的行列式子不为0
性质:
广义逆矩阵(伪逆)
概念:奇异矩阵还有非方阵没有逆,但有伪逆
左逆矩阵:
Column full rank:列满秩,Least square method:最小二乘法
右逆矩阵:
伪逆矩阵:
最小二乘法(补)
初等变换
初等矩阵:单位阵仅经过一次初等变换得到的矩阵(其逆为本身)
类别:
1.
2.
3.
左乘初等矩阵为行变换,右乘为列变换
解方程AX=B
1.初等变换(A|B)~(E|X)
2.逆:X=
3.最小二乘法:
行列式
概念
是一种函数
性质
1.
2.
3.推论:
4.加法:只有一行或一列不同,才可以加减,满足后不同的那一行或列进行加减运算
5.三种变换
计算方法
二阶:
三阶:
高阶行列式:采用行列展开降阶或者化为三角阵
向量
定义
向量定义:向量是空间中一组有大小有方向的线段
线性
定义
线性组合定义:已知空间中的一组基底,向量空间中的任意向量都可用基底表示
线性表示定义:
线性相关与线性无关的定义:两个向量间一个向量可以用另一向量表示就叫做线性相关,而一个向量组中一个向量可以用向量组内的其它向量表示就叫做向量组线性相关,反之,线性无关
向量组等价:向量组内的向量经过一系列线性变换(加减乘)后得到的新向量组,新旧两个向量组的关系就叫做向量组等价
行秩大小=列秩大小
矩阵的秩
定义:描述矩阵线性无关组的一个量,任取矩阵的i行i列
求法:化为梯矩阵,数非零行行数
极大线性无关组:
将矩阵化成梯矩阵\rightarrow找到每行首个非零元\rightarrow将每行首个非零元所在的列找出来就是最大线性无关组
线性相关性质
1.对应行列式为0
2.r<m
线性相关与线性无关的分辨方法
1.行列式:
2.秩:梯矩阵非零行行数
3.比值:向量
向量空间
n维向量空间:
子空间:属于向量空间的一部分
基底:空间中所有的向量都可以用基底向量组线性表示
维数:矩阵的秩
坐标:以一个固定点0进行观测的向量
基变换
设原基底
过渡矩阵:P=
基变换公式:B=PA
坐标变换公式:(新坐标)=P
内积与线性无关向量组的正交规范化
内积:对应维数相乘在求和,俩向量内积为零则说明俩向量正交
线性向量无关组正交规范化的施密特(Schimit)方法:
Step1:
Step2:
…
重复Step2直到
Step3:
规范正交基:基底向量的膜长(norm)为1,正交矩阵:矩阵的列向量组成为规范正交基,俩俩正交
线性方程组
定义
解空间:包含了线性方程所有解的情况,解空间的解都可以由基础解析线性表示
Crammer法则
设有系数矩阵A,X变量与常量B形成AX=B关系,D=|A|,
解的情况
下面两种判断解情况可以通过行列式(方阵):
齐次线性方程组
非齐次线性方程AX=B解的情况:
1.无解:rank(A)<rank(A|B)
2.唯一解:rank(A)=rank(A|B)=n
3.通解:rank(A)=rank(A|B)<n
线性方程组解的结构与性质
1.基础解系间彼此线性无关
2.非齐次线性方程的解由齐次的通解
解(非)齐次线性方程的过程
Step1:用初等行变换化增广矩阵为梯矩阵,判断解是否存在
Step2:继续初等行变换化梯矩阵为最简梯矩阵
Step3:写出通解
Step4:化解通解为基础解系形式
特征值与特征向量
概念
为了求矩阵的幂
相似变换
矩阵A经过对角化后得到对角阵B,则称AB相似,即A~B,
B=
可对角化条件:列向量个数=特征值个数,重根条件下,多少重根就多少个特征向量
实对称矩阵一定可对角化
二次型
定义
矩阵表示
合同变换(Contract transformation)
矩阵A可分解为:
合同矩阵:
1.原矩阵A为实对称矩阵
2.二次型的秩=未知数个数
化二次型的标准型
1.正交变换:系数矩阵
2.配方法:利用完全平方进行配方
惯性定律
正惯性系数=矩阵的秩-负惯性系数=A中正特征向量的个数
正定二次型定义:
正定矩阵:对应的二次型值>0
半正定矩阵:正定矩阵中的条件”>”改为”
负定矩阵(应用霍尔维茨定理):顺序主子式呈现负正负正…的顺序排列
提取码:cw1r
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