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第三节：矩阵操作（二），矩阵的分解
前言
矩阵分解是矩阵分析的一个重要工具。例如，求矩阵的特征值和特征向量、求矩阵的逆以及矩阵的秩等等，都需要用到矩阵分解。
在工程实际中，尤其是电子信息工程专业，在电子信息理论和控制理论中，矩阵分析尤其重要。
一、楚列斯基分解
楚列斯基分解是专门针对对称正定矩阵的分解，分解命令为chol。
实例：分解正定矩阵
>> A=[1 1 1 1;1 2 3 4;1 3 6 10;1 4 10 20];%创建正定矩阵。
>> R=chol(A)
R =
1 1 1 1
0 1 2 3
0 0 1 3
0 0 0 1
二、LU分解
矩阵的LU分解又称为矩阵的三角分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
实现LU分解的命令是lu。
| 调用格式 | 说明 |
|---|---|
| [L,U]=lu(A) | 对矩阵A进行LU分解，其中L为单位下三角阵或其他变换形式，U为上三角阵。 |
| [L,U,P]=lu(A) | 对矩阵A进行LU分解，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，P为置换矩阵，且满足LU=PA |
实例：矩阵的三角分解
>> A=[1 2 3 4;5 6 7 8;2 3 4 1;7 8 5 6];
>> [L,U]=lu(A)
L =
0.1429 1.0000 0 0
0.7143 0.3333 1.0000 0
0.2857 0.8333 0.2500 1.0000
1.0000 0 0 0
U =
7.0000 8.0000 5.0000 6.0000
0 0.8571 2.2857 3.1429
0 0 2.6667 2.6667
0 0 0 -4.0000
>> [L,U,P]=lu(A)
L =
1.0000 0 0 0
0.1429 1.0000 0 0
0.7143 0.3333 1.0000 0
0.2857 0.8333 0.2500 1.0000
U =
7.0000 8.0000 5.0000 6.0000
0 0.8571 2.2857 3.1429
0 0 2.6667 2.6667
0 0 0 -4.0000
P =
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
在实际应用中，一般都使用第二种格式的lu分解命令，因为第一种不一定正确！
三、QR分解
矩阵A的QR分解也叫做正交三角分解，即将矩阵A表示成一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵R的乘积形式。
矩阵A的QR分解命令是qr。
| 调用格式 | 说明 |
|---|---|
| [Q,R]=qr(A) | 返回正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR；若A为mn矩阵，则Q为mm矩阵，R为mn矩阵 |
| [Q,R,E]=qr(A) | 求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为置换矩阵使得R的对角线元素按绝对值大小降序排列，满足AE=QR |
| [Q,R]=qr(A,0) | 产生矩阵A的“经济型”分解，即若A为mn矩阵，且m>n,则返回Q的前n列，R为nn矩阵；否则该命令等价于[Q,R]=qr(A) |
| Q,R,E]=qr(A,0) | 产生矩阵A的“经济型”分解，E为置换矩阵使得R的对角线元素按绝对值大小降序排列，满足A(:,E)=QR |
| R=qr(A) | 对稀疏矩阵A进行分解，只产生一个上三角阵R，R为ATA的Cholesky分解因子，即满足RTR=ATA |
| R=qr(A,0) | 对稀疏矩阵A的“经济型”分解 |
| [C,R]=qr(A,b) | 此命令用来计算方程组Ax=b的最小二乘解 |
实例：随机矩阵的QR分解
>> A=rand(4)%创建4阶随机数矩阵A
A =
0.6787 0.6555 0.2769 0.6948
0.7577 0.1712 0.0462 0.3171
0.7431 0.7060 0.0971 0.9502
0.3922 0.0318 0.8235 0.0344
>> [Q,R]=qr(A)
Q =
-0.5144 0.4454 0.1909 -0.7075
-0.5743 -0.6273 -0.5130 -0.1159
-0.5632 0.4644 -0.0904 0.6775
-0.2973 -0.4386 0.8320 0.1645
R =
-1.3194 -0.8426 -0.4685 -1.0850
0 0.4985 -0.2217 0.5367
0 0 0.7055 -0.0872
0 0 0 0.1211
还有两个命令：qrdelete、qrinsert，实际算法求解时会用到。
总结
除了，上面的比较重要的分解外，还有SVD分解，舒尔分解，海森伯格分解。有些算法时需要这些，到时候会讲解这些，遇到哪个讲哪个，会比较好一些。
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