前言
本文需要对量子计算有一定的了解。需要的请翻阅我的量子专栏,这里不再涉及基础知识的科普。
量子相位反冲是什么?
相位反转(phase kickback)是量子计算中的一种现象,通常在量子算法中使用,例如量子相位估计算法。相位反冲可以用于将某些运算转化为在控制比特上的操作,从而实现更高效的量子算法。
相位反冲的主要思想是将一个控制比特和一个目标比特连接在一起,然后将目标比特进行某种操作,这个操作的相位会反冲到控制比特上,使得控制比特的状态发生改变。这样,我们可以通过测量控制比特的状态来获取目标比特上的信息。
例如,在量子相位估计算法中,我们想要估计一个相位角θ,我们可以构造一个相应的幺正运算U,将一个有用的状态|ψ⟩作为目标比特,将一个初始状态|0⟩作为控制比特,并将它们连接在一起。然后,对控制比特应用Hadamard门,使得它处于|+⟩状态,接着对U进行一个特定的操作,使得它的相位角为2kθ,其中k是控制比特的状态,最后再对控制比特进行测量,从而可以得到θ的估计。在这个过程中,相位反冲起到了关键作用,将目标比特的相位信息传递给了控制比特。
理解相位反冲
假设我们有一个叠加态
控制比特的状态(第一个量子比特)已经传递到了目标比特的相位上。这就是相位反冲技术的一个例子。为了更好的理解他,对下面的一些概念进行普及:
正交归一化叠加态
这个量子态可以写成:
其中
假设有一个初始态
接着,将
此时,第一个量子比特处于正交归一化叠加态。而这个过程中就涉及了相位反演。
在量子力学中,一个系统可以被表示为其基态的叠加,每个基态都是一个量子态。如果基态是正交的且归一化,那么它们可以构成一个正交归一化基。一个系统也可以被表示为不同的基的线性组合,这些基构成正交归一化叠加态。这些叠加态不仅是描述量子态的方便工具,而且在许多实际应用中也具有重要作用,比如在量子计算和量子通信中。
下面是系统的概念:
正交归一化叠加态
: 在量子力学中,一个量子态是指一个量子系统所处的状态。量子态可以用一个或多个复数表示,其中每个复数都对应于系统的一个可能状态。当涉及到多个态时,为了避免出现混乱,需要对这些态进行归一化和正交化。
归一化
是指将一个向量除以其长度,以使其长度等于1。在量子力学中,归一化态是一个长度为1的量子态,它是由量子态中的每个系数除以归一化系数而得到的。归一化态在量子力学中非常重要,因为在某些情况下,只有归一化的态才能表示物理上可观测的状态。为了理解这个概念,下面我们来看一些例子:
:这是一个三量子比特的量子态。它的归一化系数为 。
:这是一个三量子比特的量子态。它的归一化系数为 。
正交
是指两个向量之间的内积为0,或者说两个向量之间的夹角为90度。在量子力学中,正交态是两个不同的量子态之间的内积为0的态。这意味着这些态可以互相区分并被用于描述系统的不同状态。例如,如果一个系统可以处于状态
总之,正交归一化叠加态是指在一个量子系统中,多个归一化态之间是正交的,并且它们的叠加形成了一个新的归一化态。在量子计算中,正交归一化叠加态是一种常用的量子态,因为它们具有良好的可操作性和测量性质。常见的正交归一化叠加态包括Hadamard变换的超位置态和Bell态。
:这是一个Bell态,也是一个常用的量子态。它可以通过将两个qubit都置于 态并施加CNOT门来制备。
:这是一个比特的叠加态。它可以通过对一个qubit施加Hadamard门来制备。
相位(全局与相对)
全局相位
全局相位是指一个量子态的相位旋转,它不会改变该量子态的物理性质。在量子力学中,一个量子态可以表示成幺正算符作用于某个基态,而幺正算符通常包含一个相位因子。对于一个给定的量子态,如果我们对这个幺正算符中的相位进行一个统一的改变,那么这个量子态就会产生一个全局相位的变化。这个全局相位的变化不会影响任何可观测量的测量结果,因此被视为无用的信息。
一个例子是两个量子比特的纠缠态
全局相位因子表现为态矢量整体乘上一个复数,比如
相对相位因子表现为态矢量中不同基态系数之间的复数因子,比如上面的例子中的
在量子力学中,一个态矢量
其中
首先,假设我们有一个两量子比特的纯态
假设我们在第一个量子比特上施加一个相位门
现在,我们来计算相对相位。设
类似地,设
因此,我们可以得到相对相位为
现在,我们来看一个有全局相位的例子。假设我们的初始态为
我们来计算施加相位门
对第一个量子比特施加
现在,我们来计算两个态的内积:
由于内积的结果中有相位
考虑一个单量子比特系统的初始状态为
我们可以将这个量子态写成极坐标形式:
其中,
可以看出,全局相位
相对相位
与全局相位相对的是相对相位,它指的是两个量子态之间的相对相位差异。
假设有两个量子态
其中
其中
因此,我们可以通过改变
总结一下,相对相位是不受全局相位影响的量子态之间的相位差,它可以被用来描述不同量子态之间的区别,并且在量子计算中有重要的应用。
相位反冲的例子
ex1)
其中,
ex2)
假设有一个单量子比特的初始态
将
将
测量第一个量子比特。如果测量结果为
在这个例子中,相位反转发生在第 2 步,当控制比特
ex3):一个复杂的例子
考虑一个双量子比特系统,其中第一个量子比特是控制量子比特,第二个量子比特是目标量子比特。假设目标量子比特处于状态
我们希望将目标量子比特的相位信息传递到控制量子比特上。为了实现这一目的,我们需要执行下面的操作:
- 用目标量子比特和一个第三个量子比特构成一个受控门。第三个量子比特的状态为
,即 , 。 - 将控制量子比特与第三个量子比特进行 CNOT 门操作。
- 将第三个量子比特和目标量子比特进行 CNOT 门操作(复原)。
- 再次将控制量子比特和第三个量子比特进行 CNOT 门操作(复原)。
下面是具体到公式的演示方法:
-
将目标量子比特
与第三个量子比特 进行 CNOT 门操作,得到如下状态:
-
将控制量子比特
与第三个量子比特 进行 CNOT 门操作,得到如下状态:
-
将第三个量子比特
与目标量子比特 进行 CNOT 门操作,得到如下状态:
-
注意到此时,第二个量子比特
的相位信息已经传递到第三个量子比特 上了。最后,将控制量子比特 与第三个量子比特 再进行一次 CNOT 门操作,得到如下状态:
化简后可得:
可以看到,控制量子比特的相位信息已经被传递到了目标量子比特上,并且多了一个负号。这就是相位反转的效果。
其中
在该电路中,我们首先对
这个过程中实现相位反冲的关键在于第二步和第四步的 CNOT 门操作。具体来说,第二步的 CNOT 门操作实现了对于
当
然后在第二步和第四步的 CNOT 门操作中,当
最终,我们得到的状态为
为了更好地理解,我们将带入纯数式,用纯数学的方式来计算。
假设量子态
其中,
另外,叠加态
当叠加态
因此,线路第二阶段与第四阶段输出的量子态可以表示为:
2阶段公式化简可得:
而同理4阶段公式化简可得:
所以我们可以清楚的看到,量子反冲之前,当第一个量子位被测量后,我们无法得知第二个量子位的信息,它仍然是随机的。但是量子反冲之后,当第一个量子位被测量时,我们可以得知第二个量子位的相位信息。当第一个量子位确定时,第二个量子位也被确定了。
完整的相位反冲量子线路图如下所示:
ex4)
假设三个量子比特分别为
将第三个量子比特
将
将
将
将
将
最后,将
我们可以看到,最终的状态中,第一个量子比特
相位反转与量子振幅放大算法
相位反转和相位反冲是两个不同的概念。相位反转通常是指改变一个量子态中某个比特的相位,即在Bloch球的经典视角下绕Z轴旋转一个角度,或者在复数表示下将相位取负。相位反转是一种常见的量子门操作,可以用于量子计算中的一些算法,如量子振幅放大算法。相位反冲是指一个比特的相位被反转后,与之相邻的另一个比特的相位也随之发生反转。在量子计算中,相位反冲可以用于制备纠缠态和量子错误校正等。
用目标量子比特和一个第三个量子比特构成一个受控门。第三个量子比特的状态为
,即 , 。
将控制量子比特与第三个量子比特进行 CNOT 门操作。
将第三个量子比特和目标量子比特进行 CNOT 门操作。
再次将控制量子比特和第三个量子比特进行 CNOT 门操作。
其中,
相位反转(phase flip)和概率有一定的关系,因为在进行相位反转操作时,会导致量子态的相位发生改变,从而影响到测量时的概率分布。
具体来说,在量子力学中,一个量子态可以表示为幅度和相位的叠加。在测量量子态时,它会坍缩为一个确定的状态,且不同状态的概率分布由幅度的模长的平方给出。相位反转操作本身不会增加概率,因为量子态的模长平方代表的概率在相位反转后不会改变。但是在某些情况下,相位反转操作可以通过干涉的方式增加某些测量结果的概率。
量子振幅放大算法
假设有一个黑盒子程序
算法的流程如下:
初始化:对于一个函数
反演操作:我们定义一个标记算符
重复操作:我们将反演算符
测量操作:最后我们进行一次测量操作,将
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