协方差矩阵与相关系数矩阵

前言

  本篇博客主要介绍一下方差、协方差及相关系数的相关知识，进而引入了协方差矩阵与相关系数矩阵，并结合相关实例进行说明。

1. 方差、协方差与相关系数

  在《概率论与数理统计》中，方差用来度量单个随机变量的离散程度，记为，计算公式如下：
  数学表达式为：

  即方差 = 平方的期望 - 期望的平方

  协方差用来度量两个随机变量和间的相似程度，记为，计算公式为：
  数学表达式为：

  从公式上来看，协方差是两个变量与自身期望做差再相乘，然后对乘积取期望。也就是说，当其中一个变量的取值大于自身期望，另一个变量的取值也大于自身期望时，即两个变量的变化趋势相同，此时，两个变量之间的协方差取正值。反之，即其中一个变量大于自身期望时，另外一个变量小于自身期望，那么这两个变量之间的协方差取负值。

  相关系数，也叫皮尔逊(Pearson)相关系数，用来度量两个随机变量和间的相关程度，记为，计算公式为：
  若，表示随机变量和呈正相关；
  若，表示随机变量和呈负相关；
  若，表示随机变量和不相关，即相互独立；
  若，表示随机变量和呈线性相关；

  相关系数也可以看成协方差：一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差，它消除了两个变量变化幅度的影响，而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。

2. 协方差矩阵

  在实际场景中，我们在描述一个物体时，并不会单单从一个或两个维度去描述，比如说，在描述一个神经网络模型的性能时，需要从模型的大小，精度，推理时间等多个维度来衡量。在进行多维数据分析时，不同维度之间的相关程度就需要协方差矩阵(covariance matrix)来描述，维度之间的两两相关程度就构成了协方差矩阵，而协方差矩阵主对角线上的元素即为每个维度上的数据方差。
  协方差矩阵的表达式为：

3. 相关系数矩阵

  顾名思义，就是由相关系数组成的矩阵(correlation matrix)，也叫系数矩阵，矩阵中的每个元素的取值范围为[-1, 1]。
  相关系数矩阵的表达式为：