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一、概要

     在Swin Transformer采用了相对位置编码的概念。

     那么相对位置编码的作用是什么呢？   

     解释：在解释相对位置编码之前，我们需要先了解一下在NLP中Position Encoder即PE，NLP中Position_Encoder理解

           在Swin Transformer中，将特征图 如按7*7 的窗口大小划分为多个小窗格，单独在每个小窗格内进行Attention计算。这样一来，窗口内就相当于有        49个Token即49个像素值，这些像素是有一定的位置关系的，故在Attention计算时，需要考虑这些像素的位置关系，故提出了相对位置编码，其与NLP        中的PE是有异曲同工之妙的。

            而不同的是NLP中是在QK.T之前加入了Position信息，而Swin Transformer是在QK.T之后加入的相对位置信息，但是在效果上都是一样的。

    维度解析：

          如果特征图的大小为2*2*N(N表示每个像素点的channels)，那么经过拉直之后Q、K、V的维度都为4*N,那么QK.T 的维度就是4*4，其中第一个4表示4个像素点，第二个4表示对于每个像素点，相对包括自己在内的四个像素点的重要程度；而相对位置编码要得到的结果也需要是4*4，其每行表示四个像素相对于某个固定像素的位置编码值。

那么我们求出的相对位置编码就是对应的编码值吗？

        答案是否定的，求出的相对位置编码只是对应的位置索引，其索引值取值范围为 0 ~ K，而这个索引其实对应的是一个长度为K的可学习向量。

        这个可学习向量会在训练过程中逐步更新，而相对位置索引，就是提供索引值，从这个可学习向量中得到最终的位置编码值。如下图所示：

    而接下来我们要做的就是，用尽可能形象的方式，解释明白这个相对位置索引矩阵是怎么获取的，计算公式为：

    其中的B就是根据相对位置索引矩阵(上图左侧)中的每个像素位置的索引，从可学习向量中获取的值，并组成的编码矩阵(上图右侧)。

二、具体解析

    假设输入的feature map高宽都为2，那么首先我们可以构建出每个像素的绝对位置（左下方的矩阵），对于每个像素的绝对位置是使用行号y和列号x表示的。

1. 相对位置索引计算第一步

    比如蓝色的像素对应的是第0行第0列所以绝对位置索引是( 0 , 0 )，蓝色像素使用q与所有像素k进行匹配过程中，是以蓝色像素为参考点。而相对位置偏置Bias就是相对每个像素情况下，不同QK的偏移值。

    那么其他像素相对于该蓝色像素的相对位置是多少呢?

    用蓝色像素的绝对位置索引与其他位置索引进行相减，就得到其他位置相对蓝色像素的相对位置索引,如下图所示

    黄色(0,1)位置：(0,0) – (0,1) = (0,-1) 

    红色(1,0)位置：(0,0) – (1,0) = (-1,0)

    绿色(1,1)位置：(0,0) – (1,1) = (-1,-1) 

    蓝色(0,0)位置相对于自己那就是（0，0）-（0，0）= （0，0）

    如下图所示，每个位置都是相对于蓝色(0,0)位置的相对值，其实就是差值。

     将其拉直后就为：

    同理，当其他位置作为相对位置时，计算方式是一样的，都是让当前元素与其他四个位置的坐标位置相减。结果分别为：

   将它们拉直后，分别为：

 那么将上面拉直后的结果，放在一起的话，如下图所示：

    那么用代码是怎么计算的呢，是每个位置单独计算后，再拼接在一起的吗？

    答案是否定的，往往在矩阵相关的计算中，都会以矩阵的方式进行统一计算。代码如下：

    先整体来看，后面回分步解析。

# 获取特征图所有像素点的位置坐标
coords_h = torch.arange(2)
coords_w = torch.arange(2)
coords = torch.meshgrid([coords_h, coords_w])
# 横纵坐标合并后并拉直
coords = torch.stack(coords) 
coords_flatten = torch.flatten(coords, 1)
# 计算坐标的相对位置差值
relative_coords_first = coords_flatten[:, :, None]
relative_coords_second = coords_flatten[:, None, :]
relative_coords = relative_coords_first - relative_coords_second
relative_coords = relative_coords.permute(1, 2, 0).contiguous() 

 分步解析：

（1）获取所有像素点的横坐标与纵坐标

   a. 获取纵坐标的取值范围

coords_h = torch.arange(2)
coords_w = torch.arange(2)
'''
coords_h:
	[0,1]
coords_w:
	[0,1]
'''

b.获取所有位置的纵坐标与横坐标

coords = torch.meshgrid([coords_h, coords_w])
'''
coords[0]:
[[0,0]
 [1,1]]
shape与特征图大小相同2x2，每个位置的值表示该像素点
的纵坐标，第一行纵坐标均为0，第二行纵坐标均为1

coords[0]:
[[0,1
 [0,1]]
shape与特征图大小相同2x2，每个位置的值表示该像素点
的横坐标，第一列横坐标均为0，第二列横坐标均为1
'''

c. 上面的coords是一个列表，里面包括两个矩阵，即横坐标矩阵与纵坐标矩阵

    将横坐标矩阵与纵坐标矩阵拼接起来，torch.stack，增加一个dim=0维度并拼接

coords = torch.stack(coords) 
'''
coords:
shape:(2,2,2),第一个2表示横纵两种坐标，后面的2表示两行两列
'''
coords_flatten = torch.flatten(coords, 1)
'''
	横坐标与纵坐标分别拉直
    torch.flatten(coords,1)表示从第1个维度起拉直，
    shape(2,2,2) -> (2,4)
'''

 d. 一共四个像素点，让每个像素点都其他包括自己在内的四个像素点的横纵坐标求差值。

    所以就需要以行为单位(纵坐标与横坐标)每行各赋值4次，相当于每个像素的横纵坐标都复制4次，用于与四个像素点进行计算。

relative_coords_first = coords_flatten[:, :, None] 
'''
	增加一个维度，用于在以列为单位复制4次
    shape（2，4，1）
'''

     横坐标与纵坐标都分别复制了4份。

    复制后的，每行表示每个像素的横或纵坐标复制了4次。

relative_coords_first = coords_flatten[:, None, :] 
'''
	增加一个维度，用于在以行为单位复制4次
    shape:（2，1，4）
'''

    所有坐标都分别复制4次。

    复制后，每行表示所有像素的横或纵坐标。

relative_coords_first = coords_flatten[:, :, None]
relative_coords_second = coords_flatten[:, None, :]
relative_coords = relative_coords_first - relative_coords_second
relative_coords = relative_coords.permute(1, 2, 0).contiguous() 
'''
	上面的相减采用了广播机制，其广播的流程与上述的复制过程是一致的
'''

    上面这种做法是为了什么？

    是为了两个矩阵相减，得到的结果就相当于，四个像素点依次作为主像素点时，其他四个像素相对于该主像素点的相对位置。如下图所示：

 2. 相对位置索引计算第二步

     注意！！！ 这里描述的一直是相对位置索引，并不是相对位置偏执参数。后面我们会根据相对位置索引去取对应的参数。

    上面已经计算出来相对某一个像素，其他像素点与其的坐标差值，如下：

    但是上面的结果是二维的，而最终获取的位置参数表对于每个Head来说是一维的，故需要将上面的这个结果转换为一维的形式。由于索引值的范围为[-M+1,M-1],原始的相对位置索引加上M-1,使得索引值大于等于0，变为[0,2M-2]。

    为什么要将索引值变为大于等于0呢？    

    这个问题其实很简单，因为我们在最后从参数表中获取最终值的方式，是通过索引，而索引值是不小于0的。

 代码如下：

relative_coords[:, :, 0] += 2 - 1
relative_coords[:, :, 1] += 2 - 1

relative_coords[:, :, 1] += 2 - 1

3. 相对位置索引计算第三步

     对与每行，即不同像素间，希望得到的索引位置是不同的，但是如果直接横纵坐标相加的话，往往会出现像素不同，索引相同的情况，如下所示:

         所以最后将所有横坐标都乘上2M-1,最后再将横坐标和纵坐标求和，这样每行不同像素间得到的索引就具有独一性。

relative_coords[:, :, 0] *= 2 * 2 - 1

最后将行标和列标进行相加，得到独一的一维的索引，这样即保证了相对位置关系，而且不会出现上述0 +1 = 1  + 0 的问题了，是不是很神奇。

relative_position_index = relative_coords.sum(-1)

    至此就计算出了相对位置的索引，其并不是公式中的位置偏置参数。

    真正使用到的可训练参数使保存在相对位置偏置表 relative position bias table中的，这个表的size为9，因为上面矩阵中索引值为0到8 是9个数。

    即N = （2M-1）* (2M-1) = (4-1) * (4-1) =9.其是可训练的，随着训练过程，其内部的数值是不断优化更新的。

self.relative_position_bias_table = nn.Parameter(
            	torch.zeros((2 * window_size[0] - 1) * (2 * window_size[1] - 1), num_heads)) 

如relative position bias table如下所示：

 所以可以，操作相对位置索引的数值，依次从table中获取对应的参数

 至此，最终的相对位置编码才计算完毕。总体流程如下图所示：