1.GAN

在训练过程中，生成器和判别器的目标是相矛盾的，并且这种矛盾可以体现在判别器的判断准确性上。生成器的目标是生成尽量真实的数据，最好能够以假乱真、让判别器判断不出来，因此生成器的学习目标是让判别器上的判断准确性越来越低；相反，判别器的目标是尽量判别出真伪，因此判别器的学习目标是让自己的判别准确性越来越高。

当生成器生成的数据越来越真时，判别器为维持住自己的准确性，就必须向辨别能力越来越强的方向迭代。当判别器越来越强大时，生成器为了降低判别器的判断准确性，就必须生成越来越真的数据。在这个奇妙的关系中，判别器判断的准确性由GAN论文中定义的特殊交叉熵来衡量，判别器与生成器共同影响交叉熵，同时训练、相互内卷，对该交叉熵的控制时此消彼长的，这是真正的零和博弈。

2. 特殊交叉熵

在生成器与判别器的内卷关系中，GAN的特殊交叉熵公式如下：

其中，字母是原始GAN论文中指定用来表示该交叉熵的字母，对数的底数为自然底数，表示共有个样本，因此以上表达式是全部样本交叉的均值表达式。
除此之外，表示任意真实数据，与真实数据相同结构的任意随机数据，表示在生成器中基于生成的假数据，而表示判别器在真实数据上判断出的结果，表示判别器在假数据上判断出的结果，其中与都是样本为“真”的概率，即标签为的概率。

在原始论文中，这一交叉熵被认为是一种“损失”，但它有两个特殊之处：

• 不同于二分类交叉熵等常见的损失函数，损失上不存在最小值，反而存在最大值。具体来看，与都是概率，因此这两个值的范围都在之间。对于底数为的对数函数来说，在定义域为之间意味着函数的值为。因此理论上来说，损失的值域也在。
• 损失在判别器的判别能力最强时达到最大值，这就是说判别器判断得越准确时，损失反而越大，这违背我们对普通二分类网络中的损失函数的期待。但我们从判别器和生成器角度分别来看待公式，则可以很快理解这一点。

不难发现，在的表达式中，两部分对数都与判别器有关，而只有后半部分的对数与生成器有关。因此我们可以按如下方式分割损失函数：
对判别器：

从判别器的角度来看，由于判别器希望自己尽量能够判断正确，而输出概率又是“数据为真”的概率，所以最佳情况就是所有的真实样本上的输出都无比接近，而所有的假样本上的输出都无比接近。因此对判别器来说，最佳损失值是：

这说明判别器希望以上损失越大越好，且最大值理论上可达，且判别器追求大的本质是令接近，令接近。不难发现，对判别器而言，更像是一个存在上限的积极的指标（比如准确率）。

而从生成器的角度来看，生成器无法影响，只能影响，因此只有损失的后半段与生成器相关。因此对生成器：

生成器的目标是令输出的数据越真越好，最好让判别器完全判断不出，因此生成器希望越接近越好。因此对生成器来说，最佳损失是（去掉常数项）：

这说明生成器希望以上损失越小越好，且最小理论值可达负无穷，且生成器追求小的本质是令接近。对生成器而言，更像是一个损失，即算法表现越好，该指标的值越低。从整个生成对抗网络的角度来看，我们（使用者）的目标与生成器的目标相一致，因此对我们而言，被定义为损失，它应该越低越好。

在原始论文当中，该损失被表示为如下形式：

即先从判别器的角度令损失最大化，又从生成器的角度令损失最小化，即可让判别器和生成器在共享损失的情况下实现对抗。其中表示期望，第一个期望是所有都是真实数据时的期望；第二个期望是所有数据都是生成数据时的期望。当真实数据、生成数据的样本点固定时，期望就等于均值。
如此，通过共享以上损失函数，生成器与判别器实现了在训练过程中互相对抗，的本质就是最小化的同时最大化。并且，在最开始训练时，由于生成器生成的数据与真实数据差异很大，因此应该接近，应该接近。理论上来说，只要训练顺利，最终和都应该非常接近，但实际上这样的情况并不常见。

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