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[Python从零到壹] 六十四.图像识别及经典案例篇之图像傅里叶变换和傅里叶逆变换详解

扎眼的阳光 • • 技术文章 • 阅读 165

祝大家新年快乐，阖家幸福，健康快乐！

欢迎大家来到“Python从零到壹”，在这里我将分享约200篇Python系列文章，带大家一起去学习和玩耍，看看Python这个有趣的世界。所有文章都将结合案例、代码和作者的经验讲解，真心想把自己近十年的编程经验分享给大家，希望对您有所帮助，文章中不足之处也请海涵。Python系列整体框架包括基础语法10篇、网络爬虫30篇、可视化分析10篇、机器学习20篇、大数据分析20篇、图像识别30篇、人工智能40篇、Python安全20篇、其他技巧10篇。您的关注、点赞和转发就是对秀璋最大的支持，知识无价人有情，希望我们都能在人生路上开心快乐、共同成长。

该系列文章主要讲解Python OpenCV图像处理和图像识别知识，前期主要讲解图像处理基础知识、OpenCV基础用法、常用图像绘制方法、图像几何变换等，中期讲解图像处理的各种运算，包括图像点运算、形态学处理、图像锐化、图像增强、图像平滑等，后期研究图像识别、图像分割、图像分类、图像特效处理以及图像处理相关应用。

第一部分作者介绍了图像处理基础知识，第二部分介绍了图像运算和图像增强，接下来第三部分我们将详细讲解图像识别及图像处理经典案例，该部分属于高阶图像处理知识，能进一步加深我们的理解和实践能力。在数字图像处理中，有两个经典的变换被广泛应用——傅里叶变换和霍夫变换。其中，傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号，用来进行图像除噪、图像增强等处理；霍夫变换主要用来辨别找出物件中的特征，用来进行特征检测、图像分析、数位影像处理等处理。本文主要讲解图像傅里叶变换和傅里叶逆变换。希望文章对您有所帮助，如果有不足之处，还请海涵。

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前文赏析：（尽管该部分占大量篇幅，但我舍不得删除，哈哈！）

第一部分 基础语法

第二部分 网络爬虫

第三部分 数据分析和机器学习

第四部分 Python图像处理基础

第五部分 Python图像运算和图像增强

第六部分 Python图像识别和图像高阶案例

第七部分 NLP与文本挖掘

第八部分 人工智能入门知识

第九部分 网络攻防与AI安全

第十部分 知识图谱构建实战

扩展部分 人工智能高级案例

作者新开的“娜璋AI安全之家”将专注于Python和安全技术，主要分享Web渗透、系统安全、人工智能、大数据分析、图像识别、恶意代码检测、CVE复现、威胁情报分析等文章。虽然作者是一名技术小白，但会保证每一篇文章都会很用心地撰写，希望这些基础性文章对你有所帮助，在Python和安全路上与大家一起进步。

一.图像傅里叶变换和逆变换

傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）常用于数字信号处理，它的目的是将时间域上的信号转变为频率域上的信号。随着域的不同，对同一个事物的了解角度也随之改变，因此在时域中某些不好处理的地方，在频域就可以较为简单的处理。同时，可以从频域里发现一些原先不易察觉的特征。傅里叶定理指出“任何连续周期信号都可以表示成（或者无限逼近）一系列正弦信号的叠加。”[1]

傅里叶公式（1）如下，其中w表示频率，t表示时间，为复变函数。它将时间域的函数表示为频率域的函数f(t)的积分[2]。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

傅里叶变换认为一个周期函数（信号）包含多个频率分量，任意函数（信号）f(t)可通过多个周期函数（或基函数）相加合成。从物理角度理解，傅里叶变换是以一组特殊的函数（三角函数）为正交基，对原函数进行线性变换，物理意义便是原函数在各组基函数的投影。如1图所示，它是由三条正弦曲线组合成。其函数为（2）所示[3]。

在这里插入图片描述

傅里叶变换可以应用于图像处理中，经过对图像进行变换得到其频谱图。从谱频图里频率高低来表征图像中灰度变化剧烈程度。图像中的边缘信号和噪声信号往往是高频信号，而图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号往往是低频信号。这时可以有针对性的对图像进行相关操作，例如图像除噪、图像增强和锐化等。

二维图像的傅里叶变换可以用以下数学公式（3）表达，其中f是空间域（Spatial Domain）)值，F是频域（Frequency Domain）值。

在这里插入图片描述

对上面的傅里叶变换有了大致的了解之后，下面通过Numpy和OpenCV分别讲解图像傅里叶变换的算法及操作代码。

二.OpenCV实现图像傅里叶变换和逆变换

1.OpenCV实现傅里叶变换

OpenCV 中相应的函数是cv2.dft()和用Numpy输出的结果一样，但是是双通道的。第一个通道是结果的实数部分，第二个通道是结果的虚数部分，并且输入图像要首先转换成 np.float32 格式。其函数原型如下所示：

  • dst = cv2.dft(src, dst=None, flags=None, nonzeroRows=None)
    – src表示输入图像，需要通过np.float32转换格式
    – dst表示输出图像，包括输出大小和尺寸
    – flags表示转换标记，其中DFT _INVERSE执行反向一维或二维转换，而不是默认的正向转换；DFT _SCALE表示缩放结果，由阵列元素的数量除以它；DFT _ROWS执行正向或反向变换输入矩阵的每个单独的行，该标志可以同时转换多个矢量，并可用于减少开销以执行3D和更高维度的转换等；DFT _COMPLEX_OUTPUT执行1D或2D实数组的正向转换，这是最快的选择，默认功能；DFT _REAL_OUTPUT执行一维或二维复数阵列的逆变换，结果通常是相同大小的复数数组，但如果输入数组具有共轭复数对称性，则输出为真实数组
    – nonzeroRows表示当参数不为零时，函数假定只有nonzeroRows输入数组的第一行（未设置）或者只有输出数组的第一个（设置）包含非零，因此函数可以处理其余的行更有效率，并节省一些时间；这种技术对计算阵列互相关或使用DFT卷积非常有用

注意，由于输出的频谱结果是一个复数，需要调用cv2.magnitude()函数将傅里叶变换的双通道结果转换为0到255的范围。其函数原型如下：

  • cv2.magnitude(x, y)
    – x表示浮点型X坐标值，即实部
    – y表示浮点型Y坐标值，即虚部

最终输出结果为幅值，即：

在这里插入图片描述

下面的代码是调用cv2.dft()进行傅里叶变换的一个简单示例。

# -*- coding: utf-8 -*-
# By: Eastmount
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv2.imread('lena-hd.png', 0)

#傅里叶变换
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

#将频谱低频从左上角移动至中心位置
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

#频谱图像双通道复数转换为0-255区间
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1]))

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#显示图像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title(u'(a)原始图像'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray')
plt.title(u'(b)傅里叶变换处理'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

输出结果如图2所示，图(a)为原始“Lena”图，图(b)为转换后的频谱图像，并且保证低频位于中心位置。

在这里插入图片描述

2.OpenCV实现傅里叶逆变换

在OpenCV 中，通过函数cv2.idft()实现傅里叶逆变换，其返回结果取决于原始图像的类型和大小，原始图像可以为实数或复数。其函数原型如下所示：

  • dst = cv2.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]])
    – src表示输入图像，包括实数或复数
    – dst表示输出图像
    – flags表示转换标记
    – nonzeroRows表示要处理的dst行数，其余行的内容未定义（请参阅dft描述中的卷积示例）

注意，由于输出的频谱结果是一个复数，需要调用cv2.magnitude()函数将傅里叶变换的双通道结果转换为0到255的范围。其函数原型如下：

  • cv2.magnitude(x, y)
    – x表示浮点型X坐标值，即实部
    – y表示浮点型Y坐标值，即虚部

最终输出结果为幅值，即：

在这里插入图片描述

下面的代码是调用cv2.idft()进行傅里叶逆变换的一个简单示例。

# -*- coding: utf-8 -*-
# By: Eastmount
import numpy as np
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv2.imread('lena-hd.png', 0)

#傅里叶变换
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftshift = np.fft.fftshift(dft)
res1= 20*np.log(cv2.magnitude(dftshift[:,:,0], dftshift[:,:,1]))

#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(dftshift)
iimg = cv2.idft(ishift)
res2 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#显示图像
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res1, 'gray'), plt.title('(b)傅里叶变换处理')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(res2, 'gray'), plt.title('(b)傅里叶变换逆处理')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图3所示，图(a)为原始“Lena”图，图(b)为傅里叶变换后的频谱图像，图©为傅里叶逆变换，频谱图像转换为原始图像的过程。

在这里插入图片描述

三.NumPy实现图像傅里叶变换和逆变换

1.Numpy实现傅里叶变换

Numpy中的 FFT包提供了函数 np.fft.fft2()可以对信号进行快速傅里叶变换，其函数原型如下所示，该输出结果是一个复数数组（Complex Ndarry）[2]。

  • fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None)
    – a表示输入图像，阵列状的复杂数组
    – s表示整数序列，可以决定输出数组的大小。输出可选形状（每个转换轴的长度），其中s[0]表示轴0，s[1]表示轴1。对应fit(x,n)函数中的n，沿着每个轴，如果给定的形状小于输入形状，则将剪切输入。如果大于则输入将用零填充。如果未给定’s’，则使用沿’axles’指定的轴的输入形状
    – axes表示整数序列，用于计算FFT的可选轴。如果未给出，则使用最后两个轴。“axes”中的重复索引表示对该轴执行多次转换，一个元素序列意味着执行一维FFT
    – norm包括None和ortho两个选项，规范化模式（请参见numpy.fft）。默认值为无

Numpy中的fft模块有很多函数，相关函数如下：

#计算一维傅里叶变换
numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None) 
#计算二维的傅里叶变换
numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None) 
#计算n维的傅里叶变换
numpy.fft.fftn()
#计算n维实数的傅里叶变换
numpy.fft.rfftn() 
#返回傅里叶变换的采样频率
numpy.fft.fftfreq()
#将FFT输出中的直流分量移动到频谱中央
numpy.fft.shift()

下面的代码是通过Numpy库实现傅里叶变换，调用np.fft.fft2()快速傅里叶变换得到频率分布，接着调用np.fft.fftshift()函数将中心位置转移至中间，最终通过Matplotlib显示效果图。

# -*- coding: utf-8 -*-
# By: Eastmount
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv.imread('lena-hd.png', 0)

#快速傅里叶变换算法得到频率分布
f = np.fft.fft2(img)

#默认结果中心点位置是在左上角,
#调用fftshift()函数转移到中间位置
fshift = np.fft.fftshift(f)       

#fft结果是复数, 其绝对值结果是振幅
fimg = np.log(np.abs(fshift))

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#展示结果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('(b)傅里叶变换处理')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图4所示，图(a)为原始图像，图(b)为频率分布图谱，其中越靠近中心位置频率越低，越亮（灰度值越高）的位置代表该频率的信号振幅越大。

在这里插入图片描述

需要注意，傅里叶变换得到低频、高频信息，针对低频和高频处理能够实现不同的目的。同时，傅里叶过程是可逆的，图像经过傅里叶变换、逆傅里叶变换能够恢复原始图像。

下面代码呈现了原始图像在变化方面的一种表示：图像最明亮的像素放到中央，然后逐渐变暗，在边缘上的像素最暗。这样可以发现图像中亮、暗像素的百分比，即为频域中的振幅AA的强度。

# -*- coding: utf-8 -*-
# By: Eastmount
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv.imread('luo.png', 0)

#傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)

#转移像素做幅度普
fshift = np.fft.fftshift(f)

#取绝对值：将复数变化成实数取对数的目的为了将数据变化到0-255
res = np.log(np.abs(fshift))

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#展示结果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像'), plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('(b)傅里叶变换处理'), plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图5所示，图(a)为原始图像，图(b)为频率分布图谱。

在这里插入图片描述

2.Numpy实现傅里叶逆变换

下面介绍Numpy实现傅里叶逆变换，它是傅里叶变换的逆操作，将频谱图像转换为原始图像的过程。通过傅里叶变换将转换为频谱图，并对高频（边界）和低频（细节）部分进行处理，接着需要通过傅里叶逆变换恢复为原始效果图。频域上对图像的处理会反映在逆变换图像上，从而更好地进行图像处理。

图像傅里叶变化主要使用的函数如下所示：

#实现图像逆傅里叶变换，返回一个复数数组
numpy.fft.ifft2(a, n=None, axis=-1, norm=None) 
#fftshit()函数的逆函数，它将频谱图像的中心低频部分移动至左上角
numpy.fft.fftshift()
#将复数转换为0至255范围
iimg = numpy.abs(逆傅里叶变换结果)

下面的代码分别实现了傅里叶变换和傅里叶逆变换。

# -*- coding: utf-8 -*-
# By: Eastmount
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv.imread('luo.png', 0)

#傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
res = np.log(np.abs(fshift))

#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#展示结果
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('(b)傅里叶变换处理')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title('(c)傅里叶逆变换处理')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图6所示，从左至右分别为原始图像、频谱图像、逆傅里叶变换转换图像。

在这里插入图片描述

四.高通滤波和低通滤波

傅里叶变换的目的并不是为了观察图像的频率分布（至少不是最终目的），更多情况下是为了对频率进行过滤，通过修改频率以达到图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、压缩加密等目的。

过滤的方法一般有三种：

  • 低通（Low-pass）
  • 高通（High-pass）
  • 带通（Band-pass）

所谓低通就是保留图像中的低频成分，过滤高频成分，可以把过滤器想象成一张渔网，想要低通过滤器，就是将高频区域的信号全部拉黑，而低频区域全部保留。例如，在一幅大草原的图像中，低频对应着广袤且颜色趋于一致的草原，表示图像变换缓慢的灰度分量；高频对应着草原图像中的老虎等边缘信息，表示图像变换较快的灰度分量，由于灰度尖锐过度造成[4]。

1.高通滤波器

高通滤波器是指通过高频的滤波器，衰减低频而通过高频，常用于增强尖锐的细节，但会导致图像的对比度会降低。该滤波器将检测图像的某个区域，根据像素与周围像素的差值来提升像素的亮度。图7展示了“Lena”图对应的频谱图像，其中心区域为低频部分。

在这里插入图片描述

接着通过高通滤波器覆盖掉中心低频部分，将255两点变换为0，同时保留高频部分，其处理过程如图8所示。

在这里插入图片描述

其中心黑色模板生成的核心代码如下：

rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

通过高通滤波器将提取图像的边缘轮廓，生成如图9所示图像。

在这里插入图片描述

完整代码如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
# By: Eastmount
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv.imread('lena-hd.png', 0)

#傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)

#设置高通滤波器
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#显示原始图像和高通滤波处理图像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title('(b)结果图像')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图10所示，图(a)为原始“Lena”图，图(b)为高通滤波器提取的边缘轮廓图像。它通过傅里叶变换转换为频谱图像，再将中心的低频部分设置为0，再通过傅里叶逆变换转换为最终输出图像。

在这里插入图片描述

2.低通滤波器

低通滤波器是指通过低频的滤波器，衰减高频而通过低频，常用于模糊图像。低通滤波器与高通滤波器相反，当一个像素与周围像素的插值小于一个特定值时，平滑该像素的亮度，常用于去燥和模糊化处理。如PS软件中的高斯模糊，就是常见的模糊滤波器之一，属于削弱高频信号的低通滤波器。

图7展示了“Lena”图对应的频谱图像，其中心区域为低频部分。如果构造低通滤波器，则将频谱图像中心低频部分保留，其他部分替换为黑色0，其处理过程如图11所示，最终得到的效果图为模糊图像。

在这里插入图片描述

那么，如何构造该滤波图像呢？如图12所示，滤波图像是通过低通滤波器和频谱图像形成。其中低通滤波器中心区域为白色255，其他区域为黑色0。

在这里插入图片描述

低通滤波器主要通过矩阵设置构造，其核心代码如下：

rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

通过低通滤波器将模糊图像的完整代码如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
# By: Eastmount
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv2.imread('lena-hd.png', 0)

#傅里叶变换
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
fshift = np.fft.fftshift(dft)

#设置低通滤波器
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2) #中心位置
mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

#掩膜图像和频谱图像乘积
f = fshift * mask
print(f.shape, fshift.shape, mask.shape)

#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(f)
iimg = cv2.idft(ishift)
res = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#显示原始图像和低通滤波处理图像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('(b)结果图像')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图13所示，图(a)为原始“Lena”图，图(b)为低通滤波器模糊处理后的图像。

在这里插入图片描述

五.总结

本章主要讲解傅里叶变换。傅里叶变换主要用来进行图像除噪、图像增强处理，通过Numpy和OpenCV两种方法分别进行叙述，并结合代码加深了读者的印象。希望读者深入了解傅里叶变换的原理知识，该算法应用非常广。

转眼就过年了，2022年简单总结：很多遗憾，很多不足，勉强算是分秒必争，只争朝夕，但愧对家人，陪伴太少，论文、科研、分享和家庭都做得不好，这一年勉强给个65分吧。最最感恩的永远是女神，回家的感觉真好，平平淡淡，温温馨馨，虽然这辈子科研、事业和职称上没有太大的追求，和大佬们的差距如鸿沟，但能做自己喜欢的事，爱自己喜欢的人，每天前进一小步（人生勿比），一家人健康幸福，足矣。提前祝大家新春快乐，阖家幸福。小珞珞是真的逗，陪伴的感觉真好，女神是真的好，爱你们喔，晚安娜继续加油！

在这里插入图片描述

(By:Eastmount 2023-02-06 夜于贵阳 http://blog.csdn.net/eastmount/ )

参考文献：

  • [1]冈萨雷斯著. 数字图像处理（第3版）[M]. 北京：电子工业出版社，2013.
  • [2]阮秋琦. 数字图像处理学（第3版）[M]. 北京：电子工业出版社，2008.
  • [3]毛星云，冷雪飞. OpenCV3编程入门[M]. 北京：电子工业出版社，2015.
  • [4]张铮，王艳平，薛桂香等. 数字图像处理与机器视觉——Visual C++与Matlab实现[M]. 北京：人民邮电出版社，2014.
  • [5]百度百科. 傅里叶变换[EB/OL]. (2019.02.05). https://baike.baidu.com/item/傅里叶变换/7119029.
  • [6]Eastmount. [Python图像处理] 三十二.傅里叶变换（图像去噪）与霍夫变换（特征识别）万字详细总结[EB/OL]. (2020.12.02). https://blog.csdn.net/Eastmount/article/details/ 110487868.
  • [7]daduzimama. 图像的傅里叶变换的迷思—-频谱居中[EB/OL]. (2018-06-07). https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80597454.
  • [8]tenderwx. [数字图像处理] 傅里叶变换在图像处理中的应用[EB/OL]. (2016-03-05). https://www.cnblogs.com/tenderwx/p/5245859.html.
  • [9]小小猫钓小小鱼. 深入浅出的讲解傅里叶变换（真正的通俗易懂）[EB/OL]. (2018-02-02).
    https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html.

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