Pytorch优化器全总结(三)牛顿法、BFGS、L-BFGS 含代码

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Pytorch优化器全总结(三)牛顿法、BFGS、L-BFGS 含代码

Pytorch优化器全总结(四)常用优化器性能对比 含代码

写在前面

        这篇文章是优化器系列的第三篇,主要介绍牛顿法、BFGS和L-BFGS,其中BFGS是拟牛顿法的一种,而L-BFGS是对BFGS的优化,那么事情还要从牛顿法开始说起。 

一、牛顿法

        函数最优化算法方法不唯一,其中耳熟能详的包括梯度下降法,梯度下降法是一种基于迭代的一阶优化方法,优点是计算简单;牛顿法也是一种很重要的优化方法,是基于迭代的二阶优化方法,优点是迭代次数少,收敛速度很快。下面我们简要介绍一下牛顿法。

1.看图理解牛顿法

        最优化问题就是寻找能使函数最小化的x,所以目标函数应当是一个凸函数(起码是局部凸函数),假如一个函数如下图:

Pytorch优化器全总结(三)牛顿法、BFGS、L-BFGS 含代码

 图1

         他的一阶导数可能长下面这个样子:

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 图2

         很显然函数在x_n处取得最小值,同时这个点的导数等于0,如果使用梯度下降,经过多次迭代,x的取值会慢慢接近x_n,我们都能想象这个过程。

        如果使用牛顿法,x也会逼近x_n,不过速度会快很多,示例图如下:

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图3

        这个过程可以这样描述:

        a.在X轴上随机一点x_{1},经过x_{1}做X轴的垂线,得到垂线与函数图像的交点f(x_{1}).

        b.通过f(x_{1})做函数的切线,得到切线与X轴的交点x_{2}.

        c.迭代a/b两步,当前后两次求的x相同或者两个值的差小于一个阈值的时候,我们就认为找到了x_n

        三个步骤的难点在于b,如何快速的找到切线与X轴的交点,下面有两种计算方式,思想不同但结果是一样的。

2.公式推导-三角函数

        

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图4

        如图4,蓝色的线是函数的f(x)的导数f^{'}(x),则曲线在x_1处的导数为f^{''}(x_1),我们要求x_2,根据三角函数有:

f^{''}(x_1)=\frac{f^{'}(x_1)}{x_1-x_2}                        (1)

        得出:

        x_2=x_1-\frac{f^{'}(x_1)}{f^{''}(x_1)}                        (2)

        利用x_2开始进行下一轮的迭代。迭代公式可以简化如下:

x_{n+1}=x_{n}-\frac{f^{'}(x_{n})}{f^{''}(x_{n})}                        (3)

3.公式推导-二阶泰勒展开

        任意一点在x_k附近的二阶泰勒展开公式为:

f(x)=f(x_n)+f^{'}(x_n)(x-x_n)+\frac{1}{2}f^{''}(x_n)(x-x_n)^2        (4)

        对f(x)求导:

f^{'}(x)=f^{'}(x_n)+f^{''}(x_n)(x-x_n)                        (5)

        令f^{'}(x)=0:

 x=x_{n}-\frac{f^{'}(x_{n})}{f^{''}(x_{n})}                (6)

        写成迭代形式:

x_{n+1}=x_{n}-\frac{f^{'}(x_{n})}{f^{''}(x_{n})}                (7)

        可以看到使用三角函数和二阶泰勒展开最终得到的结果是一样的。虽然牛顿法收敛速度很快,但是当x的维度特别多的时候,我们想求得f^{''}(x)是非常困难的,而牛顿法又是一个迭代算法,所以这个困难我们还要面临无限多次,导致了直接使用牛顿法最为优化算法很难实际落地。为了解决这个问题出现了拟牛顿法,下面介绍一种拟牛顿法BFGS,主要就是想办法一种方法代替二阶导数。

二、BFGS公式推导

        函数 Pytorch优化器全总结(三)牛顿法、BFGS、L-BFGS 含代码在 Pytorch优化器全总结(三)牛顿法、BFGS、L-BFGS 含代码处的二阶泰勒展开式为:

f(x)=f(x_{n+1})+f^{'}(x_{n+1})(x-x_{n+1})+\frac{1}{2}f^{''}(x_{n+1})(x-x_{n+1})^2        (8)

        当x为向量的时候,上式写成:

f(x)=f(x_{n+1})+\bigtriangledown f(x_{n+1})(x-x_{n+1})+\frac{1}{2}\bigtriangledown^2 f(x_{n+1})(x-x_{n+1})^2

        (9)

        令G_{n+1}=\bigtriangledown ^2f(x_{n+1}),同时对f(x)求导:

\bigtriangledown f(x)=\bigtriangledown f(x_{n+1})+G_{n+1}(x-x_{n+1})                (10)

         接下来我们要想办法去掉G_{n+1},我们使用B_{n+1}代替G_{n+1}B_{n+1}是在迭代中一点点计算出来的而不使用二阶导数。

        上式变为:

\bigtriangledown f(x)=\bigtriangledown f(x_{n+1})+B_{n+1}(x-x_{n+1})                (11)

B_{n+1}(x_{n+1}-x)=\bigtriangledown f(x_{n+1})-\bigtriangledown f(x)                (12)

        我们认为每次迭代B_k与上次变化E_k,形式如下:

B_{n+1}=B_{n}+E_{n}                        (13)

          令:

y_n=\bigtriangledown f(x_{n+1})-\bigtriangledown f(x_n)s_n=x_{n+1}-x_n                (14)

        将式(13)(14)带入式子(12):

(B_n+E_n)s_n = y_n                        (15)

        令:

E_n=\alpha u_nu_{n}^{T}+\beta v_kv_{k}^{T}               (16)

         其中 u_n,v_n均为 Pytorch优化器全总结(三)牛顿法、BFGS、L-BFGS 含代码的向量,带入(15)

(B_n+\alpha u_nu_{n}^{T}+\beta v_nv_{n}^{T})s_n=y_n                (17)

\alpha (u_{n}^{T}s_n)u_n+\beta (v_{n}^{T}s_n)v_n=y_n-B_ns_n     (18)

         已知:u_{n}^{T}s_n,v_{n}^{T}s_n 为实数,y_n-B_ns_n 为向量。式(18)中,参数 Pytorch优化器全总结(三)牛顿法、BFGS、L-BFGS 含代码和 Pytorch优化器全总结(三)牛顿法、BFGS、L-BFGS 含代码解的可能性有很多,我们取特殊的情况,假设 u_n=rB_ns_n,v_n=\theta y_n。带入(16)得:

E_n=\alpha r^2B_ns_ns_{n}^{T}B_n+\beta \theta^2 y_ny_{n}^{T}                        (19)

        将 u_n=rB_ns_n,v_n=\theta y_n带入(18)得:

\alpha [(rB_ns_n)^Ts_n](rB_ns_n)+\beta [(\theta y_n)^T](\theta y_n)=y_n-B_ns_n        (20)

[\alpha r^2(s_{n}^{T}B_ns_n)+1]+[\beta \theta ^2(y_{n}^{T}s_n)-1](y_n)=0                (21)

         令 \alpha r^2(s_{n}^{T}B_ns_n)+1=0,则:

\alpha r^2=-\frac{1}{s_{n}^{T}B_ns_n}                                        (22)

        令\beta \theta ^2(y_{n}^{T}s_n)-1=0,则

\beta \theta ^2=\frac{1}{y_{n}^{T}s_n}                                (23)

        将式(22)和(23)带入(19):

E_n=-\frac{B_ns_ns_{n}^{T}B_n}{s_{n}^TB_ns_n}+\frac{y_ny_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_k}                              (24)

        将(24)带入(13)得到B_n的迭代公式:

B_{n+1}=B_n-\frac{B_ns_ns_{n}^{T}B_n}{s_{n}^TB_ns_n}+\frac{y_ny_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_k}                        (24)

        当x为向量的时候,式(7)写成:

x_{n+1}=x_n-B_{n}^{-1}\bigtriangledown f(x_n)                        (25)

        加上学习率得到BFGS的迭代公式:

x_{n+1}=x_n-\eta(B_{n}^{-1}\bigtriangledown f(x_n))                         (26)

        我们发现,还需要求B_n的逆,这里可以引入sherman-morrism公式,求解B_n的逆:

B_{n+1}^{-1}=(I-\frac{s_ny_n}{y_{n}^{T}s_n})^TB_{n}^{-1}(I-\frac{y_ns_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_n})+\frac{s_ns_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_n}                (27)

        我们用H代替B^{-1},得到最终的BFGS迭代公式和H的迭代公式:

 x_{n+1}=x_n-\eta(H_{n}\bigtriangledown f(x_n)                                        (28)

H_{n+1}=(I-\frac{s_ny_n}{y_{n}^{T}s_n})^TH_{n}(I-\frac{y_ns_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_n})+\frac{s_ns_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_n}      (29)

        其中s_n是本轮x与上一轮x的差,y_n是本轮梯度与上一轮梯度的差。

三、L-BFGS

        在BFGS算法中,仍然有缺陷,每次迭代计算需要前次迭代得到的H_nH_n的存储空间至少为N(N+1)/2(N为特征维数),对于高维的应用场景,需要的存储空间将是非常巨大的。为了解决这个问题,就有了L-BFGS算法。L-BFGS即Limited-memory BFGS。 L-BFGS的基本思想就是通过存储前m次迭代的少量数据来替代前一次的矩阵,从而大大减少数据的存储空间。

        令\rho _n=\frac{1}{y_{n}^{T}s_n},V_k=I-\frac{y_ns_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_k},则式(29)可以表示为:

 H_{n+1}=V_{n}^{T}H_nV_n+\rho _ns_ns_{n}^{T}                        (30)

        若在初始时,假定初始的矩阵H_0=I,则我们可以得到:

 H_1=V_{0}^{T}H_0V_0+\rho _0s_0s_{0}^{T}                               (31)

                                        H_2=V_{1}^{T}H_1V_1+\rho _1s_1s_{1}^{T}

                                                =V_{1}^{T}(V_{0}^{T}H_0V_0+\rho _0s_0s_{0}^{T})+\rho _1s_1s_{1}^{T}

                                                =V_{1}^{T}V_{0}^{T}H_0V_1+V_{1}^{T}\rho _0s_0s_{0}^{T}V_1+\rho _1s_1s_{1}^{T}        (32)

                 

                                        H_{n+1}=(V_{n}^{T}V_{n-1}^{T}\cdots V_{1}^{T}V_{0}^{T})H_0(V_0V_1\cdots V_{n-1}V_n)

                                                        +(V_{n}^{T}V_{n-1}^{T}\cdots V_{1}^{T})\rho _1s_1s_{1}^{T}(V_1\cdots V_{n-1}V_n)

                                                        + \cdots

                                                        +V_{n}^{T}\rho _{n-1}s_{n-1}s_{n-1}^{T}V_n

                                                        +\rho _ns_ns_{n}^{T}                                        

         假设当前迭代为n,只保存最近的m次迭代信息,按照上面的方式迭代m次,可以得到如下的公式:

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        H_{n+1}=(V_{n}^{T}V_{n-1}^{T}\cdots V_{n-m}^{T})H_0(V_{n-m}\cdots V_{n-1}V_n)

                                                +(V_{n}^{T}V_{n-1}^{T}\cdots V_{n-m}^{T})\rho _1s_1s_{1}^{T}(V_{n-m}\cdots V_{n-1}V_n)

        ​​​​​​​                                        + \cdots

                                                +V_{n}^{T}\rho _{n-1}s_{n-1}s_{n-1}^{T}V_n

                                                +\rho _ns_ns_{n}^{T}​​​​​​​

        由于\rho ,V这些变量都最终可以由s、y两个向量计算得到,因此,我们只需存储最后m次的s、y向量即可算出H_{n+1},加上对角阵H_0​​​​​​​,总共需要存储2*m+1个N维向量(实际应用中m一般取4到7之间的值,因此需要存储的数据远小于Hesse矩阵)。

四、算法迭代过程

        1. 选初始点x_0,最小梯度阈值\varepsilon > 0″ class=”mathcode” src=”https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarepsilon%20%3E%200″/>,存储最近 m 次的选代数据;</p><p>        2.初始化<img decoding=

        3.如果||\bigtriangledown f(x_{n+1})||\leqslant \varepsilon,则返回最优解 x,否则转入步骤4;

        4.计算本次选代的可行方向p+n=-r_k

        5.计算步长\alpha _k,用下面的式子进行线搜索;

f(x_n+\alpha _np_n)=minf(x_n-\alpha p_n)

        6.用下面的更新公式更新x;

x_{n+1}=x_n+\alpha _np_n

        7.如果 n大于 m,保留最近 m 次的向量对,删除s_{n-m},y_{n-m}

        8.计算并保存向量对

s_n=x_{n+1}-x_n

y_n=\bigtriangledown f(x_{n+1})-\bigtriangledown f(x_{n})

        9.用 two-loop recursion算法求:

r_n=B_n\bigtriangledown f(x_n)

        10.设置n=n+1,转到步骤3

五、代码实现

1.torch.optim.LBFGS说明

        该类实现 LBFGS优化方法。LBFGS是什么已经不用多说了。   

        Pytorch说明文档:LBFGS — PyTorch 1.13 documentation

'''
lr (float): 学习率 (default: 1)
max_iter (int): 每个优化步骤的最大迭代次数,就像图3那样迭代 (default: 20)
max_eval (int): 每次优化函数计算的最大数量,使用了线搜索算法时,每次迭代计数器可能增加不止1,最好使用线搜索算法时再设置这个参数。计数器同时受max_iter 和max_eval约束,先到哪个值直接跳出迭代。(default: max_iter * 1.25).
tolerance_grad (float): 一阶最优终止公差,就是指yn (default: 1e-5).
tolerance_change (float): 函数值/参数变化的终止容差,就是指sn (default: 1e-9).
history_size (int): 更新历史记录大小 (default: 100).
line_search_fn (str): 使用线搜索算法,只能是'strong_wolfe' 或者None (default: None).
'''
class torch.optim.LBFGS(params, lr=1.0, rho=0.9, eps=1e-06, weight_decay=0)

2.使用LBFGS优化模型

        我们用一个简单的全连接网络并使用LBFGS优化,下面是代码和运行结果,可以看到,损失下降的速度还是很快的。

# coding=utf-8
#================================================================
#
#   File name   : optim_duibi.py
#   Author      : Faye
#   Created date: 2022/8/26 17:30
#   Description :
#
#================================================================

import torch
import torch.utils.data as Data
import torch.nn.functional as F
from torch.autograd import Variable
import matplotlib.pyplot as plt

# 超参数
LR = 0.01
BATCH_SIZE = 32
EPOCH = 12

# 生成假数据
# torch.unsqueeze() 的作用是将一维变二维,torch只能处理二维的数据
x = torch.unsqueeze(torch.linspace(-1, 1, 1000), dim=1)  # x data (tensor), shape(100, 1)
# 0.2 * torch.rand(x.size())增加噪点
y = x.pow(2) + 0.1 * torch.normal(torch.zeros(*x.size()))

# 定义数据库
dataset = Data.TensorDataset(x, y)

# 定义数据加载器
loader = Data.DataLoader(dataset=dataset, batch_size=BATCH_SIZE, shuffle=True, num_workers=0)


# 定义pytorch网络
class Net(torch.nn.Module):
    def __init__(self, n_features, n_hidden, n_output):
        super(Net, self).__init__()
        self.hidden = torch.nn.Linear(n_features, n_hidden)
        self.predict = torch.nn.Linear(n_hidden, n_output)

    def forward(self, x):
        x = F.relu(self.hidden(x))
        y = self.predict(x)
        return y

# 定义不同的优化器网络
net_LBFGS = Net(1, 10, 1)

# 选择不同的优化方法
opt_LBFGS = torch.optim.LBFGS(net_LBFGS.parameters(), lr=LR, max_iter=20)

nets = [net_LBFGS]
optimizers = [opt_LBFGS]

# 选择损失函数
loss_func = torch.nn.MSELoss()

# 不同方法的loss
loss_LBFGS = []

# 保存所有loss
losses = [loss_LBFGS]

# 执行训练
for epoch in range(EPOCH):
    for step, (batch_x, batch_y) in enumerate(loader):
        var_x = Variable(batch_x)
        var_y = Variable(batch_y)
        for net, optimizer, loss_history in zip(nets, optimizers, losses):
            if isinstance(optimizer, torch.optim.LBFGS):
                def closure():
                    y_pred = net(var_x)
                    loss = loss_func(y_pred, var_y)
                    optimizer.zero_grad()
                    loss.backward()
                    return loss
                loss = optimizer.step(closure)
            else:
                # 对x进行预测
                prediction = net(var_x)
                # 计算损失
                loss = loss_func(prediction, var_y)
                # 每次迭代清空上一次的梯度
                optimizer.zero_grad()
                # 反向传播
                loss.backward()
                # 更新梯度
                optimizer.step()
            # 保存loss记录
            loss_history.append(loss.data)

# 画图
labels = ['LBFGS']
for i, loss_history in enumerate(losses):
    plt.plot(loss_history, label=labels[i])
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Steps')
plt.ylabel('Loss')
plt.ylim((0, 0.2))
plt.show()

Pytorch优化器全总结(三)牛顿法、BFGS、L-BFGS 含代码

         牛顿法、BFGS和L-BFGS就介绍到这里,后面我将对比所有优化算法的性能,收藏关注不迷路。

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