参考资料

1. 自动驾驶中的车辆运动学模型
2. 车辆数学模型
3. 车辆运动学模型
4. 车辆控制-运动学模型(Kinematic Model)
5. 运动学模型及其线性化

模型的用处就是在当前状态给定某控制输入时，预测（估计） 系统未来的状态。控制领域利用模型设计合适的输入，以期控制系统到达目标状态。

1. 以车辆重心为中心的单车运动学模型

1.1 参数说明

一般考虑运动学模型时，将车辆模型简化成单车模型(bicycle model)。

单车模型中：

• 左右轮等效为单个轮子
  左右前轮合并为单个轮子，其中心点为A点，同样后轮等效后的中心点为 B点。

• 转向角
  前后轮的转向角用​和​表示，模型中前后轮都可以转向，对于只有前轮转向的系统，后轮转向角可以设置为0.

• 重心
  点 C 代表车辆的重心， A 点和 B点到重心的距离分别用 和 ​表示，轴距表示为。

• 速度
  车辆重心的速度用表示，与车辆纵向轴的夹角为，该角度叫做车辆的滑移角。

• 运动描述
  假设车辆平动，车辆运动状态可以用三个坐标量描述： 、 和 。其中代表车辆的位置，描述的是航向角（Heading Angle），指车身与X轴的夹角。

• 条件假设
  假设速度矢量的方向在点点和点的方向与转向角的方向相同，换句话说，在A点的速度矢量与车辆纵轴的夹角为 ，同样 点的速度矢量与车辆纵轴的夹角为。也就是说前后轮的滑移角都为0。该条件假设成立前提的是车辆速度很低(<5m/s)，此时轮胎产生的横向力很小，可以忽略。

• 轨迹半径
  点 代表车辆的瞬时旋转中心，线段 与与前后两个转轮方向垂直，他们的交点即为 点，线段的长度代表车辆的轨迹半径。

• 航迹角
  车辆重心处的速度垂直于 ,车辆速度矢量与车辆纵轴的夹角为，车辆的航向角为 ，则航迹角为。

1.2 几何关系

1.2.1 偏航角的关系

如上图所示，在三角形中，根据正弦定理，有：

在三角形中，根据正弦定理，有：

展开公式(1)(2)可得:

等式(3)两边同时乘 得

同理，等式(4)两边同时乘 得

联立公式(5)(6)可得：

根据条件假设，低速环境下，车辆行驶路径的转弯半径变化缓慢，此时我们可以假设车辆偏航角的变化率率可近似等于车辆的角速度。根据车辆角速度得

将公式(8)带入公式(7)中，消除 项得

1.2.1 滑移角 的关系

等式(5)乘以 得

等式(6)乘以 得

等式(10)和(11)相减得

等式(12)两端同时乘以 得

故取反三角函数得

1.2.2 运动学模型

根据上图，很容易得到方向的速度为

综上，以车辆重心为中心的运动学模型为

其中，

1.3 python 实现

class KinematicModel_1:
  """假设控制量为前后轮的转向角delta_f，delta_r和加速度a
  """

  def __init__(self, x, y, psi, v, l_r, l_f, dt):
    self.x = x
    self.y = y
    self.psi = psi
    self.v = v
    self.l_f = l_f
    self.l_r = l_r
    # 实现是离散的模型
    self.dt = dt

  def update_state(self, a, delta_f,delta_r):
    beta = math.atan((self.l_r*math.tan(delta_f)+self.l_f*math.tan(delta_r))/(self.l_f+self.l_r))
    self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi+beta)*self.dt
    self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi+beta)*self.dt
    self.psi = self.psi+self.v*math.cos(beta)*(math.tan(delta_f)-math.tan(delta_r))/(self.l_f+self.l_r)*self.dt
    self.v = self.v+a*self.dt

  def get_state(self):
    return self.x, self.y, self.psi, self.v

2. 以前轮驱动的单车运动学模型

2.1 几何关系

由于绝大多数的汽车后轮都不能够偏转，所以在单车模型基础上，我们假定后轮的转角控制输入，即车辆为前轮驱动(front−wheel−only)。也就是说，方向盘上的控制输入，都反映到了前轮的转角上了，即认为方向盘的转角就等于前轮的转角。

注意：这里依旧以车辆重心为中心。

在直角三角形中，易得

将公式(8)代入公式(17)得

故前轮驱动的车辆运动学模型为

其中，的推导方式与前文一致（可直接令公式(14)的），可得

2.2 python实现

class KinematicModel_2:
  """假设控制量为前轮的转向角delta_f和加速度a
  """
  def __init__(self, x, y, psi,v,l_r,l_f,dt):
    self.x = x
    self.y = y
    self.psi = psi
    self.v = v
    self.l_f = l_f
    self.l_r = l_r
    # 实现是离散的模型
    self.dt=dt
  

  def update_state(self,a,delta_f):
    beta = math.atan((self.l_r)/(self.l_f+self.l_r)*math.tan(delta_f))
    self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi+beta)*self.dt
    self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi+beta)*self.dt
    self.psi = self.psi+self.v*math.sin(beta)/self.l_r*self.dt
    self.v = self.v+a*self.dt

  def get_state(self):
    return self.x, self.y, self.psi, self.v
      

3. 以后轴中心为车辆中心的单车运动学模型

3.1 几何关系

在直角三角形中，显然有

联立公式(7)，可得：

另外，根据几何关系，显然有

因此，以后轴中心为车辆中心的运动学模型为

如果使用车辆的加速度作为 控制，则再加上下面这个公式即可

但在无人车控制过程中，一般控制对象 ，则式(22)可写为:

速度 的控制主要通过刹车 (brake) 、油门 (throttle) 、档位 (gear) 等来控制，横摆角速度 主要通过转动方向盘 (steer) 来 控制。

3.2 python实现

class KinematicModel_3:
  """假设控制量为转向角delta_f和加速度a
  """
  def __init__(self, x, y, psi,v,L,dt):
    self.x = x
    self.y = y
    self.psi = psi
    self.v = v
    self.L = L
    # 实现是离散的模型
    self.dt=dt
  

  def update_state(self,a,delta_f):
    self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi)*self.dt
    self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi)*self.dt
    self.psi = self.psi+self.v/self.L*math.tan(delta_f)*self.dt
    self.v = self.v+a*self.dt

  def get_state(self):
    return self.x, self.y, self.psi, self.v
      

所有实现代码欢迎访问我的github仓库，正在持续更新中~~

4. 阿克曼转向几何

汽车采用阿克曼转向轮。阿克曼转向几何(Ackerman Turning Geometry)是一种为了解决交通工具转弯时，内外转向轮路径指向的圆心不同的几何学。

在单车模型中，将转向时左、右前轮偏角假设为同一角度，虽然通常两个角度大致相等，但实际并不是，通常情况下，内侧轮胎转角更大。如下图所示。

和 分别为外侧前轮和内侧前轮偏角，当车辆左转时，左前轮胎为内侧轮胎，其转角 较 右前轮胎转角 更大。 为轮距， 为轴距，远远小于轨迹半径，滑移角接近于0。一般车辆模型后轴为固定轴，故后轮两轮胎转角为 ，即为0 。

当以后轴中心为参考点时，则为转向半径R。

当滑移角很小时，且后轮偏角为0时，公式(9)可近似为

由于 很小

根据公式(8)和公式(24)得

故不区分前后轴，等效转向角为

由于内外轮的转弯半径不同，根据公式(27), 外轮转角为

内轮转角为

故前轮平均转向角为

由于 项中， 远远小于 , 且 的二次项更小，故

所以等式(30)可以近似为

比较等式(28)和(29)知， 始终大于 ，故

根据公式(33)可知，前轮内外转向角的差值接近于平均转向角的二次方，所以当前轮转向角较大时， 内外轮的转向角误差就越大。

依据阿克曼转向几何设计的车辆，沿着弯道转弯时，利用四连杆的相等曲柄使内侧轮的转向角比外侧轮大大约2~4度，使四个轮子路径的圆心大致上交会于后轴的延长线上瞬时转向中心，让车辆可以顺畅的转弯。

车辆运动模型基于单车模型推导，推导过程不考虑车辆受到的横向力，故该模型只适用于车辆速度很低的情形。

根据公式(34)知，速度很小时，车辆受到的向心力可以忽略不记，所以才有公式(8)的成立。所以当车辆的运动场景速度较低时，可以使用该模型描述车辆的运动。