【原理+代码】Python实现Topsis分析法（优劣解距离法）

内容

综合评价方法

什么是Topsis法

MATLAB代码

TOPSIS法的算法步骤

数据转发

数据归一化

考虑加权？ （熵权法）

标准化和计算分数（无权重）

最好最差（加权）

TOPSIS法的评估

可视化

(AHP)层次分析法定权重

每个文本一个字

综合评价方法

评价方法一般分为两类。一种是主观加权法，多采用综合咨询评分来确定权重，如：综合指标法、模糊综合评价法、层次分析法、功效系数法等。另一种是客观加权法，根据指标之间的相关性或各指标值的变异程度确定权重，如主成分分析、因子分析、理想解等。

那么目前，主要使用的评价方法有：主成分分析法、因子分析法、TOPSIS法（本文详解）、秩和比法、灰色关联法、熵权法、层次分析法、模糊评价法、物元分析法、聚类分析法、价值工程法、神经网络法等。

是不是感觉太多了，其实当你踏进机器学习和算法，以及建模的道路当中，知识才是越学越多，越学才知道要学的东西太多了。俗话说：人外有人，天外有天，知识的海洋是无穷无尽的，学海无涯，当然要做舟呀，不然还没有入海3秒你就被淹死了，哈哈哈！

什么是Topsis法

该方法构造评价问题的正理想解和负理想解（各指标的最优解和最差解），计算各方案与理想方案的相对接近度，即接近正的距离理想解和负理想解。度，对方案进行排序，从而选择最佳方案。

TOPSIS法 是根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价【其中最优解的各指标值都达到各评价指标的最优值，最劣解的各指标值都达到各评价指标的最差值】

TOPSIS法 特别适合具有多组评价对象时，要求通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序

理念

确定最佳和最差解决方案

计算每个评估对象与最优计划和最差计划的接近程度（典型：熵权法）

计算每个评价对象与最优解的接近度

这里有一个MATLAB 代码案例，可以参考使用，从熵权法到得出评分，本文还是着重从Python的角度实现。

MATLAB代码

%%  第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为 X
load data_water_quality.mat          % 数据的名字叫 data_water_quality


%%  第二步：判断是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);

if Judge == 1
    Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： ');%[2,3,4]
    disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); % [2,1,3]
    for i = 1 : size(Position,2)
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    end
    disp('正向化后的矩阵 X =  ')
    disp(X)
end


%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)


%% 第四步：让用户判断是否需要增加权重（可以自己决定权重，也可以用熵权法确定权重）
disp("请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0")
Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');
if Judge == 1
    Judge = input('使用熵权法确定权重请输入1，否则输入0： ');
    if Judge == 1
        if sum(sum(Z<0)) >0   % 如果之前标准化后的Z矩阵中存在负数，则重新对X进行标准化
            disp('原来标准化得到的Z矩阵中存在负数，所以需要对X重新标准化')
            for i = 1:n
                for j = 1:m
                    Z(i,j) = [X(i,j) - min(X(:,j))] / [max(X(:,j)) - min(X(:,j))];
                end
            end
            disp('X重新进行标准化得到的标准化矩阵Z为:  ')
            disp(Z)
        end
        weight = Entropy_Method(Z);
        disp('熵权法确定的权重为：')
        disp(weight)
    else
        disp(['如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]']);
        weight = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数。' '请以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重: ']);
        OK = 0;  % 用来判断用户的输入格式是否正确
        while OK == 0 
            if abs(sum(weight) -1)<0.000001 && size(weight,1) == 1 && size(weight,2) == m  % 注意浮点数
                OK =1;
            else
                weight = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');
            end
        end
    end
else
    weight = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
end


%% 第五步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weight,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

TOPSIS法的算法步骤

①转发（每列转换为最大类型）
②标准化（每一个元素都是标准化的）
③归一化（每一列的和都为 1 ）
④ 计算权重（求每行之和）

数据转发

对于某些数据，越大越好，越接近某个值，在一个区间内最好。这些不同的方向和间隔使分析变得混乱。为了简化分析，我们将数据转发。处理它，让他越大越好。一般来说，常见的数据可以分为四类：

超大指数（效益指数）：指数值越大越好。
极小指标（成本指标）：指标值越小越好。
中间指标：指标值越接近某个值越好。
区间型指标：指标值在一定区间内是最好的，区间内的数值没有好坏之分。

非常小的指标转换为非常大的指标：（流行度）

#极小型指标 -> 极大型指标
def dataDirection_1(datas):
    return np.max(datas)-datas     #套公式（1）

中间型指标转化为极大型指标：（ph值越接近7就越好）

#中间型指标 -> 极大型指标
def dataDirection_2(datas, x_best):
    temp_datas = datas - x_best
    M = np.max(abs(temp_datas))
    answer_datas = 1 - abs(datas - x_best) / M     #套公式
    return answer_datas
    

区间指标转化为大指标：期望指标的值最好落在一定区间内（如体温）

#区间型指标 -> 极大型指标
def dataDirection_3(datas, x_min, x_max):
    M = max(x_min - np.min(datas), np.max(datas) - x_max)
    answer_list = []
    for i in datas:
        if(i < x_min):
            answer_list.append(1 - (x_min-i) /M)      #套公式
        elif( x_min <= i <= x_max):
            answer_list.append(1)
        else:
            answer_list.append(1 - (i - x_max)/M)
    return np.array(answer_list)   

那么有时候，我们不是很确定最佳的区间值，可能我们在不同的专家下或者资料下，发现区间值有所波动，举一个简单的例子，假设某一个指标官方给出的是[4,5],但是就会出现一个问题，某些情况下5.5和3.5也算是不错的，如果采用后者那么就会太偏激了，采用前者又太局限了，所以我们应该如何去做呢？这里重新定义了一个公式，添加了最大容忍区间。

def dataDirection_3(datas, x_min, x_max, x_minimum, x_maximum):
	def normalization(data):
		if data >= x_min and data <= x_max:
			return 1
		elif data <= x_minimum or data >= x_maximum:
			return 0
		elif data > x_max and data < x_maximum:
			return 1 - (data - x_max) / (x_maximum - x_max)
		elif data < x_min and data > x_minimum:
			return 1 - (x_min - data) / (x_min - x_minimum)

	return list(map(normalization, datas))

上面的转换其实最后都转换成正值，不管你用什么方法，条条大路通罗马

数据归一化

转发之后还有一个问题，就是所有的值都有自己的维度。以正表值为例，如果直接计算距离，那么肺活量较大的人一定更健康。例如，肺活量远大于其他值。为了消除数据维度的影响，我们需要对数据进行归一化处理。对每列数据进行归一化的方法如下：

构造一个加权范数矩阵，将属性向量归一化，即每列元素除以当前列向量的范数（使用余弦距离度量）

# 使用sklearn里面的包，不用传统的方法
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler,StandardScaler,scale
def temp2(A):
    max_min_scaler=StandardScaler()
    A=max_min_scaler.fit_transform(A)
    return A
#这种方法适合大多数类型的数据，其应用非常广泛。从公式里我们就可以看出来，转化之后其均值将变为0，而方差和标准差将变为1（考虑方差的公式），这部分如果不明白那就不妨在本子上推理一下哦。

基本原则：

data = data / np.sqrt((data ** 2).sum())

其他：

def Standard(datas):
    K = np.power(np.sum(pow(datas,2),axis = 0),0.5)
    for i in range(len(K)):
        datas.iloc[: , i] = datas.iloc[: , i] / K[i]
    return datas 

这里可以采用自定义的标准化公式，写出原始代码，但是sklearn更加的快速的简单，正好前期更新了机器学习。

考虑加权？ （熵权法）

熵权法是一种客观的加权法。在具体使用过程中，根据各个指标数据的分散程度，通过信息熵计算出各个指标的熵权，然后根据各个指标对熵权进行一定程度的修正。得到更客观的指标权重。

如果你对某些指标有更多的专业知识和验证，那么你也可以根据算法计算出来的权重指标做一些小调整，可能会有更好的效果。

#熵权法等 
def entropy(df):
    #返回每个样本的指数
    #样本数，指标个数
    n,m=np.shape(data0)
    #一行一个样本，一列一个指标
    #下面是归一化
    maxium=np.max(data0,axis=0)
    minium=np.min(data0,axis=0)
    data= (data0-minium)*1.0/(maxium-minium)
    ##计算第j项指标，第i个样本占该指标的比重
    sumzb=np.sum(data,axis=0)
    data=data/sumzb
    #对ln0处理
    a=data*1.0
    a[np.where(data==0)]=0.0001
#    #计算每个指标的熵
    e=(-1.0/np.log(n))*np.sum(data*np.log(a),axis=0)
#    #计算权重
    w=(1-e)/np.sum(1-e)
#     recodes=np.sum(data*w,axis=1)
    return w


plt.figure(figsize=(10,8))
sns.barplot(recodes,df.columns, orient='h')

标准化和计算分数（无权重）

def Score(sta_data):
    z_max = np.amax(sta_data , axis=0)
    z_min = np.amin(sta_data , axis=0)
    # 计算每一个样本点与最大值的距离
    tmpmaxdist = np.power(np.sum(np.power((z_max - sta_data) , 2) , axis = 1) , 0.5)  # 每个样本距离Z+的距离
    tmpmindist = np.power(np.sum(np.power((z_min - sta_data) , 2) , axis = 1) , 0.5)  # 每个样本距离Z+的距离
    score = tmpmindist / (tmpmindist + tmpmaxdist)
    score = score / np.sum(score)  # 归一化处理
    return score

最好最差（加权）

import pandas as pd
import numpy as np


def topsis(data, weight=None):
	# 归一化
	data = data / np.sqrt((data ** 2).sum())

	# 最优最劣方案
	Z = pd.DataFrame([data.min(), data.max()], index=['负理想解', '正理想解'])

	# 距离
	weight = entropyWeight(data) if weight is None else np.array(weight)
	Result = data.copy()
	Result['正理想解'] = np.sqrt(((data - Z.loc['正理想解']) ** 2 * weight).sum(axis=1))
	Result['负理想解'] = np.sqrt(((data - Z.loc['负理想解']) ** 2 * weight).sum(axis=1))

	# 综合得分指数
	Result['综合得分指数'] = Result['负理想解'] / (Result['负理想解'] + Result['正理想解'])
	Result['排序'] = Result.rank(ascending=False)['综合得分指数']

	return Result, Z, weight

TOPSIS法的评估

Topsis法 的优点：
（1） 避免了数据的主观性，不需要目标函数，不用通过检验，而且能够很好的刻画多个影响指标的综合影响力度
（2） 对于数据分布及样本量、指标多少无严格限制，既适于小样本资料，也适于多评价单元、多指标的大系统,较为灵活、方便
Topsis法 的缺点：
（1） 需要的每个指标的数据，对应的量化指标选取会有一定难度
（2）不确定指标的选取个数为多少适宜，才能够去很好刻画指标的影响力度
（3） 必须有两个以上的研究对象才可以进行使用

可视化

转发了不同的指标，然后标准化，归一化，最后可视化，哈哈哈，怎么感觉有点押韵，那么这个可视化效果如何呢？

是的，这是一个雷达图。至于像这样画雷达图，这里就不详细解释了。我的专栏“酷可视化”有它。单击下面的详细信息以跳转到它。

Python绘制雷达图之可视化神器pyecharts

首先得到上表并可视化

合理确定指标权重是应用 TOPSIS 综合评价的关键

评价结果和评价方法的质量本质上是高度主观的。马克思主义告诉我们“具体问题具体分析。在矛盾普遍性原则的指导下，具体分析矛盾的特殊性，找出解决矛盾的正确方法”。如何在论文中尽可能详细地展示你的想法、选择方法原则、指标选择、权重结构，是方法应用成功的关键。

在做建模的时候，切记不要在定性思维上一以贯之，总结前人的观点，要学会自主创新，才能取得真正的进步和提高

(AHP)层次分析法定权重

层次分析法是一种定性和定量的决策分析方法。通过判断各衡量指标的相对重要性，得出各指标在决策方案中的权重。熵权法是一种基于数据的加权法，而分层分析法是一种基于经验的加权法。

注意：层次分析法中提到的特征向量和特征值不是矩阵中的概念，而是重新定义的。

1) 构造指标成对比较矩阵

由于定性定权不免存在偏差，Santy 等人提出使用一致矩阵法，构造成对比较矩阵。设共有 M 个评价指标。

2) 计算矩阵的特征值和特征向量

Step 1 ：先对成对比矩阵进行列归一化，即每个元素都除以当前列元素的和

Step 2：将归一化矩阵按行求和，得到每一行的“特征向量”

Step 3：将特征向量按列归一化，得到“指标权重”

Step 4：成对比矩阵的每一列乘以“指标权重”中对应位置的元素得到矩阵

3) 判断成对比较矩阵的一致性

定义：一致性指标 CI 定义为

越趋近于0，说明一致性越好，即成对比矩阵构造合理。但多“小”依旧是人为选取，因此引入 “一致性比率” 来衡量。

定义：一致性比率 CR，其中 CI 是一致性指标，RI 是随机一致性指标(查表得到)：

本文主要介绍Python，Topsis的相关知识，至于层次分析法，后续会详细的介绍，这里只是简单提一下。

每个文本一个字

快点！