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11.请将“田忌赛马”的博弈过程用策略式(博弈矩阵)和扩展式(博弈树)分别进行表示,并用文字分别详细表述。
42.乙向甲索要1000元,并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然,甲不一定会相信乙的威胁。 请用扩展式表示该博弈,并找出其子博弈完美纳什均衡。
前言:
本篇博客解决一些博弈论题目,题号已标清。
题目来自河北大学王亮老师的网址:Software Security Lab, Hebei University (hbusoftsec.org.cn)
题目与求解
题号:11 分值:20分
11.请将“田忌赛马”的博弈过程用策略式(博弈矩阵)和扩展式(博弈树)分别进行表示,并用文字分别详细表述。
假设田忌和齐王赛马,每人有上、中、下三个等级的马各一匹,上等马优于中等马,中等马优于下等马,同一等级的马中齐王的马优于田忌的马。比赛共进行三局,每匹马只能参加一局比赛,每局的胜者得1分,负者得-1分,比赛结果为三局得分之和。
玩家N=2: 田忌 齐王
策略集: {上中下、上下中、中上下、中下上、下上中、下中上}
(1)策略式博弈矩阵为:
博弈矩阵中的每组数表示:左边的是田忌的得益,右边的是齐王的得益。
(2)扩展式(博弈树)为:
动态博弈的结果包括双方采用的策略组合、实现的博弈路径和各博弈方的得益。
这是一棵很大的树,为了可以看清楚每个分支,我拆分为三个部分展示:齐王先手-上,齐王先手-中,齐王先手-下。
最后合并为一整棵树:
题号:34 分值:15分
34.两个朋友在一起划拳喝酒,每个人有4个纯策略:杠子、老虎、鸡和虫子。 输赢规则是:杠子降老虎,老虎降鸡,鸡降虫子,虫子降杠子。两个人同时出令,如果一方打败另一方,赢者的得益为1,输者的得益为-1,否则得益为0. 请给出以上博弈的策略式描述并求出所有的纳什均衡。
如同石头剪刀布博弈一样,此博弈不存在纯策略纳什均衡,因为这4个纯策略都互相克制。存在混合策略纳什均衡。
设A=杠子,B=老虎 C=鸡 D=虫子
运用“让对手猜不透原则”
设玩家1选择出A,B,C,D的概率分别为q1,q2,q3,1-q1-q2-q3
设玩家2选择出A,B,C,D的概率分别为p1,p2,p3,1-p1-p2-p3
对于玩家1:
对于玩家2:
得到:
即:
设
所以,只要
如,当
题号:42 分值:15分
42.乙向甲索要1000元,并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然,甲不一定会相信乙的威胁。 请用扩展式表示该博弈,并找出其子博弈完美纳什均衡。
这是一个完全但不完美博弈,甲并不清楚乙会不会选择威胁,故需要引入“自然”,使得乙威胁或不威胁的概率分别为50%.
设甲原本的得益为1000,乙原本的得益为0。前件为乙的得益,后件为甲的得益。
必要信息描述:
若甲不给乙,且乙的威胁是真的,甲、乙都将损失1000(因为乙不但没有得到钱,还使用了威胁的手段,损害了甲)。此时双方得益为(-1000,-1000)。
若甲给乙,乙的威胁是真的。乙提前做好了威胁甲的准备,付出了用于威胁甲的成本,成本为-200元。此时双方得益为(800,0)。
扩展式博弈(博弈树)如下:
由逆向归纳法可以得到子博弈完美纳什均衡解:乙在威胁的情况下,甲选择给钱,此时双方的得益为(800,0);乙在不威胁的情况下,甲不给钱,此时双方得益为(0,1000)。
最终图解:
本博客所借鉴的优秀内容链接如下,在此鸣谢:
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