线性代数 — 投影Projection 五（投影矩阵的性质）

 投影矩阵的性质

1，投影矩阵不可逆。

例1：P1，P2分别是可以把二维空间中任意向量投影到x轴和y轴上的两个投影矩阵。

分别计算他们的行列式和条件数，行列式的值为0，条件数无穷大，说明该矩阵不可逆是一个奇异矩阵singular matrix。

例2：三维空间中，可以把任意向量投影到向量a上的投影矩阵P。

同样：行列式的值为0，条件数趋近于无穷大，说明该矩阵不可逆，是一个奇异矩阵singular matrix。 

  2，投影矩阵是一个对称矩阵。

对称矩阵：就是形如下面的一些矩阵，矩阵沿对角线成镜像对称。

当然，最经典的对称矩阵就是单位矩阵Identity matrix

  3，对于把任意向量投影到某一个方向的投影矩阵而言，投影矩阵是一个秩为1的矩阵（例如，在由n个线性无关的列向量所张成的n维列空间中，把向量投影到第个方向上的投影矩阵）。但对于，能够把向量投影到某个平面或子空间上的投影矩阵而言，则不然（例如，在三维空间中，能够把向量投影到x-y平面上的投影矩阵的秩为2）。

        任何一个秩等于1的矩阵都可以用如下形式来表示(其中，u，v都是列向量，又因为u,v的维数可以不同，所以，A不一定是方阵)：

  例如：在图像处理中最常被用来模糊图像的二维高斯核，就是一个秩为1的矩阵。

 4， 对于任何投影矩阵P而言，有：

 也就是说，无论投影多少次，最终得到的都是同样的投影向量p，即：

 这是合理的，因为投影在相同方向的二次投影就是他自己。

5，用相同尺寸的单位矩阵I减投影矩阵P，会得到一个新的投影矩阵I-P，这个新的投影矩阵I-P的投影方向和P的投影方向相互垂直。如果用这个投影矩阵I-P去左乘向量b，得到的正好是垂直于投影向量p的误差向量e，即：

个人学习笔记：

注：笔记中第4条结论有误。 

（全文完）

作者 — 松下J27

参考文献（鸣谢）：

1，《Introduction to Linear Algebra》,5th Edition – Gilbert Strang

2，线性代数及其应用，侯自新，南开大学出版社，1990.

3，https://en.wikipedia.org/wiki/Identity_matrix

外国优秀哲理诗词赏析：

（配图与本文无关）

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