【自抗扰控制ADRC】跟踪微分器

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• 何为跟踪微分器（TD）
• 线性跟踪微分器（LTD）数学描述
• 非线性跟踪微分器（NTD）数学描述

何为跟踪微分器（TD）

跟踪微分器顾名思义，包含了跟踪和微分两个部分。

• 跟踪 t
  就是一个对输入信号以某种手段延迟输出的环节 。

在做一些控制时，通常不希望输入信号出现阶跃的情况，这会在系统中产生一定扰动，因此通常会用一种 ” 斜坡算法 “使输入信号变得更平缓。这在变化的输入信号中体现出平滑滞后的效果，看起来像是经过这一 “斜坡算法” 的输出信号在跟踪输入信号。

• 微分 d
  微分是指跟踪信号微分后的信号，代表着跟踪信号的变化率。

微分可以理解成变化速度，当我们想要快速精准到达目标信号时，既要保证快速，也要保证精准。而这两者通常是相悖的，快速往往伴随着超调（刹不住车）。因此如果能把握好速度的快慢，在离得远时加速，在快要到达时减速，就可以避免刹不住车的情况。

线性跟踪微分器（LTD）数学描述

• 建立线性状态方程，其中状态变量为 ，输入信号为，其状态方程为
  
  在自动控制理论中，常见的LTD是临界阻尼的二阶惯性环节， 其传递函数表示为
  
  其中是自然频率；
  将输入信号和输出信号代进惯性环节，可以得到：
  
  又，代入上式可以得到：
  
  又，代入到状态方程中，可以得到矩阵为：
  
  整理后，得到
  
  到这里大多数文章就没有后续的描述了，但其实我在学习到这部分的时候就有一个疑问，这个参数$r$的数学意义是什么，该怎么选取这个参数的数值呢，它又是如何影响着LTD的性能。后面的这部分内容是对参数r的讨论，感兴趣的可以往下看，反之则可以直接跳过。

通过微分方程的形式，以单位阶跃响应为例，，观察随时间变化的过程，观察其达到1时的时间以及参数在这个过程发挥的作用。
由于是关于时间的信号，为了避免误解，令 ，前者的t是信号，后者的t是时间。则将上述微分方程整理后得到：

开始求解微分方程 （悄悄拿出高数课本）
这里不赘述，直接给结论。

其中跟0时刻状态有关，不进行讨论。
我们只需要关注当是的值，用于衡量跟踪性能。

显然，是衰减因子，越大，收敛的越快。

非线性跟踪微分器（NTD）数学描述

• 对比LTD，NTD采用的不是线性二阶惯性环节，而是特殊的非线性函数（最速控制综合函数），以实现跟踪的目的。
  连续系统的最速控制综合函数的数学描述为
  
  其中为跟踪信号，为输入信号，为微分信号，为加速度的绝对值，则NTD的非线性状态方程为：
  

这个最速控制综合函数是基于物理公式得到的，假设当前速度为 ，以固定的加速度运动，位移了后速度为，则满足公式：

所以中的第二项是减速到0的位移，第一项是到达目标位置的位移。
通过比较这两个位移项的和，来决定当前是否加减速。
在simulink实现NTD，再观察状态变量的变化过程。

function y = fcn(x1,x2,r)
    y = -r*sign(x1+x2*abs(x2)/(2*r));

示波器结果为：