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我这里要讲的三大不等式不是三种范数比较大小的三大不等式。而是非常经典的,学习线性代数必须掌握的三大不等式:柯西-施瓦茨不等式、赫尔德不等式和闵可夫斯基不等式。
我先讲讲这三大不等式的关系,首先是根据几何空间(定义了标准内积的欧几里得空间)里的夹角,有了柯西-施瓦茨不等式。然后由柯西-施瓦茨不等式推广到更一般的场景,就成了赫尔德不等式,也就是说柯西-施瓦茨不等式是赫尔德不等式在
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式,非常常见了。它的内容是:
公式里的x和y都是向量,两条竖线是向量在内积下的模长,如果取标准内积模长就可以换成2-范数。但是如果不是标准内积,则后面是对应内积的模长。本文不讨论一般内积,所以直接用标准内积,只能在实数域,那么就可以特化为:
赫尔德不等式
赫尔德不等式,英文为Hölder’s inequality,它的内容如下:
展开来就是:
闵可夫斯基不等式
p范数的不等式就是闵可夫斯基不等式,英文为Minkowski’s inequality,也就是:
展开就是
这也是p-范数定义里的三角不等式要求。闵可夫斯基不等式是由赫尔德不等式推出来的。我讲讲这个推导过程。首先讲清楚,是在复数域
首先有复数模长的三角不等式,也就是1-范数的三角不等式,这个就无需证明了。
两边同时乘以
上式里的ab是向量的一个分量,现在把它扩展到整个向量,应用赫尔德不等式,进行变量替换:
因为正整数的模长的模长就是本身,所以省略一些模长符号,得到:
再把另一个代入:
两个公式加起来:
右边合并一下:
左边也合并一下:
再处理一下
代入,替换:
发现两边都有
在三角不等式外面加求和符号,得到:
把三个式子连起来,得到:
根据不等式的传递性,去掉中间的,然后得到:
所以两边都可以除于
这就是闵可夫斯基不等式。证明完毕Q.A.D。
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