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9.2 向量范数的三大不等式

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  我这里要讲的三大不等式不是三种范数比较大小的三大不等式。而是非常经典的,学习线性代数必须掌握的三大不等式:柯西-施瓦茨不等式、赫尔德不等式和闵可夫斯基不等式。

  我先讲讲这三大不等式的关系,首先是根据几何空间(定义了标准内积的欧几里得空间)里的夹角,有了柯西-施瓦茨不等式。然后由柯西-施瓦茨不等式推广到更一般的场景,就成了赫尔德不等式,也就是说柯西-施瓦茨不等式是赫尔德不等式在
9.2 向量范数的三大不等式时的特殊场景。那么由赫尔德不等式,可以推导出闵可夫斯基不等式,闵可夫斯基不等式就是除了1-范数,以外的p-范数符合三角不等式定义的证明。

柯西-施瓦茨不等式

  柯西-施瓦茨不等式,非常常见了。它的内容是:

  公式里的x和y都是向量,两条竖线是向量在内积下的模长,如果取标准内积模长就可以换成2-范数。但是如果不是标准内积,则后面是对应内积的模长。本文不讨论一般内积,所以直接用标准内积,只能在实数域,那么就可以特化为:

赫尔德不等式

  赫尔德不等式,英文为Hölder’s inequality,它的内容如下:

  展开来就是:

  时,,整个不等式就变成了柯西-施瓦茨不等式。

闵可夫斯基不等式

  p范数的不等式就是闵可夫斯基不等式,英文为Minkowski’s inequality,也就是:

  展开就是

  这也是p-范数定义里的三角不等式要求。闵可夫斯基不等式是由赫尔德不等式推出来的。我讲讲这个推导过程。首先讲清楚,是在复数域上,竖线代表模长。
  首先有复数模长的三角不等式,也就是1-范数的三角不等式,这个就无需证明了。

  两边同时乘以,得到:

  上式里的ab是向量的一个分量,现在把它扩展到整个向量,应用赫尔德不等式,进行变量替换:

  因为正整数的模长的模长就是本身,所以省略一些模长符号,得到:

  再把另一个代入:

  两个公式加起来:

  右边合并一下:

  左边也合并一下:

  再处理一下:

  代入,替换:

  发现两边都有,于是对左边进行改造,运用三角不等式:

  在三角不等式外面加求和符号,得到:

  把三个式子连起来,得到:

  根据不等式的传递性,去掉中间的,然后得到:

  所以两边都可以除于,得到:

  这就是闵可夫斯基不等式。证明完毕Q.A.D。

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原文链接:https://blog.csdn.net/m0_66201040/article/details/128721477

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