线性代数笔记2–矩阵消元

0. 简介

矩阵消元

1. 消元过程

实例方程组

矩阵化


消元

回代

求解

结果

2. 消元矩阵

将上述消元的过程变为矩阵相乘的形式。

向量式思考
矩阵乘列向量

行向量乘矩阵

一个矩阵左边乘一个单位矩阵并不改变其值

而做行的加减则可以

实际上这个过程就是，我们在之前的消元过程中的第二行减去三倍第一行的过程。我们继续下去将这个矩阵对角化。

我们令最后的上三角矩阵为

两个变换矩阵为

则
而矩阵乘法满足结合律证明即

所以最终消元的过程变成了寻找矩阵E的过程

这一过程。

3. 置换矩阵

在上述的消元矩阵中，我们并没有进行列的交换。那么如何进行交换呢？

我们知道在原矩阵基础左边乘单位矩阵，矩阵不会发生变化。

如何交换两行呢，将单位矩阵变形

推广到多行

• 行变换
  交换第一行和第三行
  
  交换第一行和第二行
  

所以交换任意两行，只需将单位矩阵中对应行的位置进行交换。

• 列变换

在矩阵左边乘是对原矩阵行变换，而在矩阵右边则是列变换
交换矩阵两列

交换多列也是一样的效果
交换第第列

所以交换任意两列，只需将单位矩阵中对应行的位置进行交换。
与行交换的不同地方在于，矩阵乘的在右边了。

4. 矩阵的逆