2022年数学建模国赛(A题/B题/C题)评阅要点
文章目录
- 1. 2022年A题(波浪能最大输出功率设计)
- 2. 算法讨论
- 2.1 基本分析:阻尼问题,考虑用微分方程求解。
- 2.2 基本问题:常微分方程还是偏微分方程
- 2.3 基本问题:一维问题还是二维问题
- 2.4 基本问题:一阶问题还是二阶问题
- 2.5 基本问题:无源问题还是有源问题
- 2.6 能不能不用微分方程求解?
- 3. 微分方程例程 — 与题目无关
- 3.1 例题:求二阶 RLC 振荡电路的数值解
- 3.2 二阶微分方程问题的编程步骤
- 3.3 二阶微分方程问题 Python 例程
- 3.4 二阶方程问题 Python 例程运行结果
- 4. 参考文献
1. 2022年A题(波浪能最大输出功率设计)
A题 波浪能最大输出功率设计
随着经济和社会的发展,人类面临能源需求环境污染双重挑战,发展可再生产业已成为世界各国的共识。
波浪能作一种重要海洋可再生源,分布广泛储量丰富,具有可观的应用前景。 波浪能装置量转换效率是规模化利关键问题之一。
2. 算法讨论
2.1 基本分析:阻尼问题,考虑用微分方程求解。
参考例程:
Python小白的数学建模课-09.微分方程模型09.微分方程模型
Python小白的数学建模课-11.偏微分方程数值解法11.偏微分方程数值解法
2.2 基本问题:常微分方程还是偏微分方程
(1)常微分方程初值问题,可以表达为对 t 或对 x 的导数;
(2)常微分方程边值问题,可以表达为 y 对 x 的导数;
(3)偏微分方程,一般是既包括对 t 的导数,又包括对 x 的导数,当然还有其它特殊形式,就不讨论了。
(4)对于偏微分方程,可以在 t0 或 x0 作为常微分方程讨论,分析和求解。
问题如果涉及 10s, 20s, t 显然是自变量了。
问题如果求某一时刻位移,这当然就是 y(t) 了。
问题如果求某一时刻的速度,可以表示为 y(t) 的一阶导数。
2.3 基本问题:一维问题还是二维问题
(1)中轴,圆柱体,往复运动,垂荡运动,这些都是提示,而且都是必要的。
(2)纵摇,这意味着什么?注意坐标系的选择。推荐参考:
Python小白的数学建模课-11.偏微分方程数值解法11.偏微分方程数值解法
2.4 基本问题:一阶问题还是二阶问题
(1)弹簧-阻尼系统的微分方程,不论串联,并联,串并联,都比较容易列出微分方程。详见“弹簧质量阻尼器的动力学”。
(2)壳体如何处理?取决于坐标系的选择。
2.5 基本问题:无源问题还是有源问题
这个问题很明显,激励力和激励频率都给出了。
有源激励的微分方程,激励函数如何表达与编程,可以参考:
Python小白的数学建模课-09.微分方程模型09.微分方程模型
2.6 能不能不用微分方程求解?
其实是可以的,但难度可能更大,就不讨论了。
3. 微分方程例程 — 与题目无关
3.1 例题:求二阶 RLC 振荡电路的数值解
高阶常微分方程,必须做变量替换,化为一阶微分方程组,再用 odeint 求数值解。
零输入响应的 RLC 振荡电路可以由如下的二阶微分方程描述:
令
对二阶微分方程问题,引入变量
这样就可以用上节求解微分方程组的方法来求解高阶微分方程问题。
3.2 二阶微分方程问题的编程步骤
以RLC 振荡电路为例讲解 scipy.integrate.odeint() 求解高阶常微分方程初值问题的步骤:
-
导入 scipy、numpy、matplotlib 包;
-
定义导数函数 deriv(Y, t, a, w)
注意 odeint() 函数中定义导数函数的标准形式是
,本问题中 y 表示向量,记为导数定义函数 deriv(Y, t, a, w) 编程如下,其中 a, w 分别表示方程中的参数
:
# 导数函数,求 Y=[u,v] 点的导数 dY/dt
def deriv(Y, t, a, w):
u, v = Y # Y=[u,v]
dY_dt = [v, -2*a*v-w*w*u]
return dY_dt
-
定义初值
和 的定义区间 ; -
调用 odeint() 求
在定义区间 的数值解。例程中通过 args=paras 将参数 (a,w) 传递给导数函数 deriv(Y, t, a, w) 。本例要考察不同参数对结果的影响,这种参数传递方法使用非常方便。
3.3 二阶微分方程问题 Python 例程
# 3. 求解二阶微分方程初值问题(scipy.integrate.odeint)
# Second ODE by scipy.integrate.odeint
from scipy.integrate import odeint # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 导数函数,求 Y=[u,v] 点的导数 dY/dt
def deriv(Y, t, a, w):
u, v = Y # Y=[u,v]
dY_dt = [v, -2*a*v-w*w*u]
return dY_dt
t = np.arange(0, 20, 0.01) # 创建时间点 (start,stop,step)
# 设置导数函数中的参数 (a, w)
paras1 = (1, 0.6) # 过阻尼:a^2 - w^2 > 0
paras2 = (1, 1) # 临界阻尼:a^2 - w^2 = 0
paras3 = (0.3, 1) # 欠阻尼:a^2 - w^2 < 0
# 调用ode对进行求解, 用两个不同的初始值 W1、W2 分别求解
Y0 = (1.0, 0.0) # 定义初值为 Y0=[u0,v0]
Y1 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras1) # args 设置导数函数的参数
Y2 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras2) # args 设置导数函数的参数
Y3 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras3) # args 设置导数函数的参数
# W2 = (0.0, 1.01, 0.0) # 定义初值为 W2
# track2 = odeint(lorenz, W2, t, args=paras) # 通过 paras 传递导数函数的参数
# 绘图
plt.plot(t, Y1[:, 0], 'r-', label='u1(t)')
plt.plot(t, Y2[:, 0], 'b-', label='u2(t)')
plt.plot(t, Y3[:, 0], 'g-', label='u3(t)')
plt.plot(t, Y1[:, 1], 'r:', label='v1(t)')
plt.plot(t, Y2[:, 1], 'b:', label='v2(t)')
plt.plot(t, Y3[:, 1], 'g:', label='v3(t)')
plt.axis([0, 20, -0.8, 1.2])
plt.legend(loc='best')
plt.title("Second ODE by scipy.integrate.odeint")
plt.show()
3.4 二阶方程问题 Python 例程运行结果
结果讨论:
RLC串联电路是典型的二阶系统,在零输入条件下根据
- 过阻尼:
,有 2 个不相等的负实数根; - 临界阻尼:
,有 2 个相等的负实数根; - 欠阻尼:
,有一对共轭复数根; - 无阻尼:
,有一对纯虚根。
例程中所选择的 3 组参数分别对应过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的条件,微分方程的数值结果很好地体现了不同情况的相应曲线。
4. 参考文献
[1]赖锦涛. 基于波浪能发电阵列的最优功率调度弹性控制的研究[D].深圳大学,2020.
[2]张增宝. 振荡浮子式波浪能发电系统捕能功率预测与多目标优化[D].山东大学,2020.
[3]王淑婧. 振荡浮子式波浪能发电装置的设计及功率计算分析[D].中国海洋大学,2013.
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