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前言
由于NSGA-II是基于遗传算法的，所以在讲解NSGA-II之前，我们先对遗传算法有一些基本的了解——遗传算法经常用于单目标优化问题，所进行操作的基本流程如下
- 通过解的二进制值进行交叉变异产生不同的解
- 依据适应度函数，得到每个解的适应值
- 根据适应值的大小来对当前解集合，进行排序筛选。
- 再对筛选出的个体进行新一轮的交叉变异，循环往复使得解集合越来越逼近真实的优化目标。
NSGA-II所做的其实就是把排序的依据改变——就是“如何评判一个解的优劣”，在传统遗传算法中，使用的是适应度函数值，这也是因为传统遗传算法多用在单目标的优化问题中，使用能够使用这一个指标来判断。
下面是遗传算法中一些名词的对应关系：
| 数学概念 | 生物概念 |
|---|---|
| 当前的解集合 | 当前的种群 |
| 解集合中的每个解 | 种群中的个体 |
NSGA-II
但对于一个多目标优化问题来说，它的最优解不再是一个值，而是在多维空间中的一个pareto前沿：一个最优解的集合。因此对于迭代过程中未到达pareto前沿的解来说，评判其优劣应当从两个方面来入手——
收敛性——解靠近pareto前沿的程度（或速度）
分布性——当前解集是否尽可能地覆盖到了pareto前沿。
所以NSGA-II的作者Deb提出了评价当前解集合优劣的两个指标：
- 非支配排序
- 拥挤度距离排序
下面为了方便讲解，我们以双目标的最小化优化问题举例说明，因为这样能够在几何意义上，放在二维平面图中帮助我们去理解。
非支配排序
支配关系
首先，需要了解两个解的支配关系。我们举例来说明，如果两个目标都是最小化目标的话，说明目标函数值越小，越好。则假设
给定个体 ，
目标函数值
再给定另外的个体 ，
目标函数值
我们可以发现， 在两个目标函数方向（objective）， 所求的目标函数值
都比
的目标函数值
小，而同时两个优化方向都是最小化。所以
所得解的效果要要好于
，即
支配
。
同样的，当一个方向上相等，支配关系又另一个方向目标函数值的大小来决定，例如： 支配
。
如果在二维平面图上用几何意义来理解的话，就是由原点开始向外做同心圆，内侧圆上的点支配外侧圆上的点。（当然仅限于两个目标，且优化方向都是最小化）
非支配关系
但是我们会遇到另外一种情况，例如 和
，显然在一个方向上2 > 1,但在另一个方向上1 < 2，对应在几何意义上，就是这两个点在同一个圆上。像这种彼此没有明确的支配关系，即双方无法支配对方的时候，两者的关系就是非支配关系。
综上对于两个个体而言，他们的大小关系便可以对应为两者的支配关系。所以在类定义中，我重载了小于号的方法，方便在代码中比较两个个体的支配关系。
# 重载小于号“<”
def __lt__(self, other):
v1 = list(self.objective.values())
v2 = list(other.objective.values())
for i in range(len(v1)):
if v1[i] > v2[i]:
return 0 # 但凡有一个位置是 v1大于v2的 直接返回0,如果相等的话比较下一个目标值
return 1
非支配排序算法
算法思想
由上，显然支配关系能够作为一个指标来衡量这个解的优劣程度，因此我们利用个体间的支配关系，将现有种群进行分层。最靠近pareto前沿的解它的等级（rank）最高，为第一层。然后依次判断每个个体处在第几层中，给每个个体的rank赋值。几何上来看，类似于画同心圆，看看这个解在第几个同心圆中。然后依据每个个体的rank值来进排序选择。
算法伪代码
下面是原文作者的伪代码：
伪代码释义
这里面需要了解其中几个变量的含义——
：解
被几个解所支配，是一个数值（左下部分点的个数）
：解
支配哪些解，是一个解集合（右上部分点的内容）
：第
层的解集合（显然同一层内的解互相都是非支配解）
：解
所在层的等级（越小越好）
伪代码主要进行了两步：
- 所有个体的
，
都算出来了，但只有最前沿的个体 rank确定下来，该层的所有个体的rank值设为1，再将其放入了
层中。
- 用
的
，该个体每被前一层的p支配过一次，该个体属性
的值就减 1。则，当该层的
一次后，若
。说明
中 ，个体
- 重复 2. 的步骤用于
，…
Python代码实现
def fast_non_dominated_sort(P):
"""
非支配排序
:param P: 种群 P
:return F: F=(F_1, F_2, ...) 将种群 P 分为了不同的层， 返回值类型是dict，键为层号，值为 List 类型，存放着该层的个体
"""
F = defaultdict(list)
for p in P:
p.S = []
p.n = 0
for q in P:
if p < q: # if p dominate q
p.S.append(q) # Add q to the set of solutions dominated by p
elif q < p:
p.n += 1 # Increment the domination counter of p
if p.n == 0:
p.rank = 1
F[1].append(p)
i = 1
while F[i]:
Q = []
for p in F[i]:
for q in p.S:
q.n = q.n - 1
if q.n == 0:
q.rank = i + 1
Q.append(q)
i = i + 1
F[i] = Q
return F
过渡1
上面描述的非支配排序方法从解的收敛性，或者说靠近pareto的前沿的程度来衡量解的优劣。以此，我们假设现在待选择种群个体有120个，我们的种群规模为100，即要选择前100个作为父代进入下一次迭代。
通过非支配排序，若得到 有30个，
有60个，
有10个，
有20个。很显然，我们只选择
，
，
中的个体就可以了。但上述情况是刚刚好的，我们需要考虑比较一般的情况——
如果划分的线切在了 层中，即如果
有30个，要从中选择10个，剔除20个，这种情况该如何选择呢？即对于处在同一层中，rank属性值相同的个体，我们应当依据什么来对他们进行排序呢？
拥挤度距离排序
算法思想
由此，作者为了保证种群的多样性，即保留解的分布的稀疏程度，放在图上来看的话就是尽可能得让解分散。在这一原则之下，位于两端的解是必留的，而处于中间的点，则通过定义拥挤度距离来进行判断。形象一些来理解的话，就是“你身边距离比较近的同类太多了，只留下你一个能够代表这一段就行了”。
算法伪代码
下面是原文作者的伪代码：
Python代码实现
def crowding_distance_assignment(L):
""" 传进来的参数应该是L = F(i)，类型是List"""
l = len(L) # number of solution in F
for i in range(l):
L[i].distance = 0 # initialize distance
for m in L[0].objective.keys():
L.sort(key=lambda x: x.objective[m]) # sort using each objective value
L[0].distance = float('inf')
L[l - 1].distance = float('inf') # so that boundary points are always selected
# 排序是由小到大的，所以最大值和最小值分别是 L[l-1] 和 L[0]
f_max = L[l - 1].objective[m]
f_min = L[0].objective[m]
for i in range(1, l - 1): # for all other points
L[i].distance = L[i].distance + (L[i + 1].objective[m] - L[i - 1].objective[m]) / (f_max - f_min)
# 虽然发生概率较小，但为了防止除0错，当bug发生时请替换为以下代码
# if f_max != f_min:
# for i in range(1, l - 1): # for all other points
# L[i].distance = L[i].distance + (L[i + 1].objective[m] - L[i - 1].objective[m]) / (f_max - f_min)
过渡2
由此介绍完“非支配排序”和“拥挤度距离分配”之后，对于一个已有种群的排序选择的基本流程便可以确定下来——
- 给定种群中的两个个体，首先比较其rank，该值越小，说明其越靠近pareto前沿，故选择rank值小的。
- 若两个个体的rank值相同，即两个解是非支配解时，比较其crowding_distance，该值越大，表示其所处的位置更稀疏，更能表现出种群的多样性，故选择crowding_distance值大的。
二元锦标赛
以上流程便是 “二元锦标赛”选择的基本策略。（二元锦标赛：随机选择两个个体，依据某种指标策略进行比较，较优的个体胜出，作为进行交叉的父本中的一个）
其对应代码如下
def binary_tournament(ind1, ind2):
"""
二元锦标赛
:param ind1:个体1号
:param ind2: 个体2号
:return:返回较优的个体
"""
if ind1.rank != ind2.rank: # 如果两个个体有支配关系，即在两个不同的rank中，选择rank小的
return ind1 if ind1.rank < ind2.rank else ind2
elif ind1.distance != ind2.distance: # 如果两个个体rank相同，比较拥挤度距离，选择拥挤读距离大的
return ind1 if ind1.distance > ind2.distance else ind2
else: # 如果rank和拥挤度都相同，返回任意一个都可以
return ind1
精英选择策略
首先，在传统的遗传算法中，在某一次迭代中，只有该次迭代的父代参与选择交叉变异，从而产生子代，作为下一次迭代的父代。
而在NSGA-II中，为了保证最优解的不丢失，提高算法的收敛速度，作者提出了“精英选择策略”，即将父代 和子代
种群，合并为一个种群
，对其整体进行非支配排序和拥挤度距离计算，根据上述方法进行排序和选择作为下一届的父代
。父代再通过一般的方法进行选择交叉排序产生子代
。
这里同样也是循环的主流程所在！
选择交叉变异生成新种群
选择
随机从种群中选择两个个体，让其进行过渡2所说的“二元锦标赛”，获胜的作为父本1；同样操作，再得到一个父本2。之后，为了避免遗传算法中的早熟现象，多增加一步判断，使得父本1和父本2不相同。
交叉
对得到的两个父本进行交叉，产生两个子代。这里选择的交叉算子是“模拟二进制交叉（SBX）”
变异
对于得到的两个子代，其中一个进行变异操作，另一个不变（千万不要两个都变，会引起一种早熟现象——所有的个体都过早的陷于某几个极值而停止变化，具体原因未明，待解决），这里选择的变异算子是“多项式变异”(PM)
是满足(0,1)均匀分布的随机数，
是变异分布参数。
Python代码实现
def make_new_pop(P, eta, bound_min, bound_max, objective_fun):
"""
use select,crossover and mutation to create a new population Q
:param P: 父代种群
:param eta: 变异分布参数，该值越大则产生的后代个体逼近父代的概率越大。Deb建议设为 1
:param bound_min: 定义域下限
:param bound_max: 定义域上限
:param objective_fun: 目标函数
:return Q : 子代种群
"""
popnum = len(P)
Q = []
# binary tournament selection
for i in range(int(popnum / 2)):
# 从种群中随机选择两个个体，进行二元锦标赛，选择出一个 parent1
i = random.randint(0, popnum - 1)
j = random.randint(0, popnum - 1)
parent1 = binary_tournament(P[i], P[j])
# 从种群中随机选择两个个体，进行二元锦标赛，选择出一个 parent2
i = random.randint(0, popnum - 1)
j = random.randint(0, popnum - 1)
parent2 = binary_tournament(P[i], P[j])
while (parent1.solution == parent2.solution).all(): # 如果选择到的两个父代完全一样，则重选另一个
i = random.randint(0, popnum - 1)
j = random.randint(0, popnum - 1)
parent2 = binary_tournament(P[i], P[j])
# parent1 和 parent1 进行交叉，变异 产生 2 个子代
Two_offspring = crossover_mutation(parent1, parent2, eta, bound_min, bound_max, objective_fun)
# 产生的子代进入子代种群
Q.append(Two_offspring[0])
Q.append(Two_offspring[1])
return Q
def crossover_mutation(parent1, parent2, eta, bound_min, bound_max, objective_fun):
"""
交叉方式使用二进制交叉算子（SBX），变异方式采用多项式变异（PM）
:param parent1: 父代1
:param parent2: 父代2
:param eta: 变异分布参数，该值越大则产生的后代个体逼近父代的概率越大。Deb建议设为 1
:param bound_min: 定义域下限
:param bound_max: 定义域上限
:param objective_fun: 目标函数
:return: 2 个子代
"""
poplength = len(parent1.solution)
offspring1 = Individual()
offspring2 = Individual()
offspring1.solution = np.empty(poplength)
offspring2.solution = np.empty(poplength)
# 二进制交叉
for i in range(poplength):
rand = random.random()
beta = (rand * 2) ** (1 / (eta + 1)) if rand < 0.5 else (1 / (2 * (1 - rand))) ** (1.0 / (eta + 1))
offspring1.solution[i] = 0.5 * ((1 + beta) * parent1.solution[i] + (1 - beta) * parent2.solution[i])
offspring2.solution[i] = 0.5 * ((1 - beta) * parent1.solution[i] + (1 + beta) * parent2.solution[i])
# 多项式变异
# TODO 变异的时候只变异一个，不要两个都变，不然要么出现早熟现象，要么收敛速度巨慢 why？
for i in range(poplength):
mu = random.random()
delta = (2 * mu) ** (1 / (eta + 1)) if mu < 0.5 else (1 - (2 * (1 - mu)) ** (1 / (eta + 1)))
offspring1.solution[i] = offspring1.solution[i] + delta
# 定义域越界处理
offspring1.bound_process(bound_min, bound_max)
offspring2.bound_process(bound_min, bound_max)
# 计算目标函数值
offspring1.calculate_objective(objective_fun)
offspring2.calculate_objective(objective_fun)
return [offspring1, offspring2]
整体流程图
以上，便是所有需要的零件了，下面就是写主函数了，写程序嘛，还是得看具体的流程图：
def main():
# 初始化/参数设置
generations = 250 # 迭代次数
popnum = 100 # 种群大小
eta = 1 # 变异分布参数，该值越大则产生的后代个体逼近父代的概率越大。Deb建议设为 1
poplength = 30 # 单个个体解向量的维数
bound_min = 0 # 定义域
bound_max = 1
objective_fun = ZDT2
# poplength = 3 # 单个个体解向量的维数
# bound_min = -5 # 定义域
# bound_max = 5
# objective_fun = KUR
# 生成第一代种群
P = []
for i in range(popnum):
P.append(Individual())
P[i].solution = np.random.rand(poplength) * (bound_max - bound_min) + bound_min # 随机生成个体可行解
P[i].bound_process(bound_min, bound_max) # 定义域越界处理
P[i].calculate_objective(objective_fun) # 计算目标函数值
# 否 -> 非支配排序
fast_non_dominated_sort(P)
Q = make_new_pop(P, eta, bound_min, bound_max, objective_fun)
P_t = P # 当前这一届的父代种群
Q_t = Q # 当前这一届的子代种群
for gen_cur in range(generations):
R_t = P_t + Q_t # combine parent and offspring population
F = fast_non_dominated_sort(R_t)
P_n = [] # 即为P_t+1,表示下一届的父代
i = 1
while len(P_n) + len(F[i]) < popnum: # until the parent population is filled
crowding_distance_assignment(F[i]) # calculate crowding-distance in F_i
P_n = P_n + F[i] # include ith non dominated front in the parent pop
i = i + 1 # check the next front for inclusion
F[i].sort(key=lambda x: x.distance) # sort in descending order using <n，因为本身就在同一层，所以相当于直接比拥挤距离
P_n = P_n + F[i][:popnum - len(P_n)]
Q_n = make_new_pop(P_n, eta, bound_min, bound_max,
objective_fun) # use selection,crossover and mutation to create a new population Q_n
# 求得下一届的父代和子代成为当前届的父代和子代，，进入下一次迭代 《=》 t = t + 1
P_t = P_n
Q_t = Q_n
# 绘图
plt.clf()
plt.title('current generation:' + str(gen_cur + 1))
plot_P(P_t)
plt.pause(0.1)
plt.show()
return 0
测试函数与结果
在此，测试函数使用ZDT1（论文还给出了很多其他的测试函数，具体可以看原论文的TABLE1）：
其他
源代码地址：
https://github.com/Jiangtao-Hao/NSGA-II.git
参考：
https://blog.csdn.net/Ryze666/article/details/123826212
https://www.docin.com/p-567112189.html
文章出处登录后可见！
