一、算法简介:
GBDT 的全称是 Gradient Boosting Decision Tree
,梯度提升树,在传统机器学习算法中,GBDT算的上是TOP前三的算法。
想要理解GBDT的真正意义,那就必须理解GBDT中的Gradient Boosting
和Decision Tree
分别是什么?
1. Decision Tree:CART回归树
首先,GBDT使用的决策树是CART回归树,无论是处理回归问题还是二分类以及多分类,GBDT使用的决策树通通都是都是CART回归树。
为什么不用CART分类树呢?因为GBDT每次迭代要拟合的是梯度值,是连续值所以要用回归树。
对于回归树算法来说最重要的是寻找最佳的划分点,那么回归树中的可划分点包含了所有特征的所有可取的值。
在分类树中最佳划分点的判别标准是熵或者基尼系数,都是用纯度来衡量的,但是在回归树中的样本标签是连续数值,所以再使用熵之类的指标不再合适,取而代之的是平方误差,它能很好的评判拟合程度。
2.回归树生成算法:
输入:训练数据集
输出:回归树
在训练数据集所在的输入空间中,递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值,构建二叉决策树:
1)选择最优切分变量与切分点,求解:
遍历变量,对固定的切分变量扫描切分点,选择使得上式达到最小值的对。
(2)用选定的对划分区域并决定相应的输出值:
(3)继续对两个子区域调用步骤(1)和(2),直至满足停止条件。
(4)将输入空间划分为个区域,生成决策树:
3. Gradient Boosting:拟合负梯度
梯度提升树(Grandient Boosting)是提升树(Boosting Tree)的一种改进算法,所以在讲梯度提升树之前先来说一下提升树。
我们用上一篇文章的例子来理解:
假如有个人30岁,我们首先用20岁去拟合,发现损失有10岁;我们去你和损失,拟合的数值为6岁,发现差距还有4岁,第三轮我们用3岁拟合剩下的差距,差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完,可以继续迭代下面,每一轮迭代,拟合的岁数误差都会减小。最后将每次拟合的岁数加起来便是模型输出的结果。
提升树算法:
(1)初始化
(2)对:
1)计算残差
2)拟合残差学习一个回归树,得到
3)更新
(3)得到回归问题提升树
上面伪代码中的残差是什么?
在提升树算法中,假设我们前一轮迭代得到的强学习器是,损失函数是,我们本轮迭代的目标是找到一个弱学习器,最小化本轮的损失。
当采用平方损失函数时:
这里:,是当前模型拟合数据的残差(residual)。
所以,对于提升树来说只需要简单地拟合当前模型的残差。
回到我们上面讲的那个通俗易懂的例子中,第一次迭代的残差是10岁,第二次残差4岁…
当损失函数是平方损失和指数损失函数时,梯度提升树每一步优化是很简单的,但是对于一般损失函数而言,往往每一步优化起来不那么容易,针对这一问题,Freidman提出了梯度提升树算法,这是利用最速下降的近似方法,其关键是利用损失函数的负梯度作为提升树算法中的残差的近似值。那么负梯度长什么样呢?第轮的第个样本的损失函数的负梯度为:
此时不同的损失函数将会得到不同的负梯度,如果选择平方损失:
负梯度为:
此时我们发现GBDT的负梯度就是残差,所以说对于回归问题,我们要拟合的就是残差。
那么对于分类问题呢?二分类和多分类的损失函数都是log loss,本文以回归问题为例进行讲解。
4. GBDT算法原理
上面两节分别将Decision Tree和Gradient Boosting介绍完了,下面将这两部分组合在一起就是我们的GBDT了。
GBDT算法:
(1)初始化弱学习器
(2)对有:
1)对每个样本,计算负梯度,即残差:
2)将上步得到的残差作为样本新的真实值,并将数据作为下棵树的训练数据,得到一颗新的回归树,其对应的叶子节点区域为。其中为回归树的叶子节点的个数。
3)对叶子区域计算最佳拟合值
4)更新强学习器:
(3)得到最终学习器
二、实例详解
数据介绍:
如下表所示:一组数据,特征为年龄、体重,身高为标签值。共有5条数据,前四条为训练样本,最后一条为要预测的样本。
编号 | 年龄(岁) | 体重(kg) | 身高(cm)(标签值) |
---|---|---|---|
0 | 5 | 20 | 1.1 |
1 | 7 | 30 | 1.3 |
2 | 21 | 70 | 1.7 |
3 | 30 | 60 | 1.8 |
4(预测) | 25 | 65 | ? |
训练阶段:
参数设置:
学习率:learning_rate=0.1
迭代次数:n_trees=5
树的深度:max_depth=3
1.初始化弱学习器:
损失函数为平方损失,因为平方损失函数是一个凸函数,直接求导,倒数等于零,得到。
令导数等于0:
所以初始化时,c取值为所有训练样本标签值的均值:
此时得到初始学习器:
2.对迭代轮数m=1,2,…,M
由于我们设置了迭代次数:n_trees=5,这里的M=5。
计算负梯度,根据上文损失函数为平方损失时,负梯度就是残差残差,再直白一点就是y与上一轮得到的学习器的差值:
残差在下表列出:
编号 | 真实值 | 初始值 | 残差 |
---|---|---|---|
0 | 1.1 | 1.475 | -0.375 |
1 | 1.3 | 1.475 | -0.175 |
2 | 1.7 | 1.475 | 0.225 |
3 | 1.8 | 1.475 | 0.325 |
此时将残差作为样本的真实值来训练弱学习器,即下表数据:
编号 | 年龄 | 体重(kg) | 标签值 |
---|---|---|---|
0 | 5 | 20 | -0.375 |
1 | 7 | 30 | -0.175 |
2 | 21 | 70 | 0.225 |
3 | 30 | 60 | 0.325 |
接着,寻找回归树的最佳划分节点,遍历每个特征的每个可能取值。从年龄特征的5开始,到体重特征的70结束,分别计算分裂后两组数据的平方损失,左节点平方损失为,右节点平方损失为。
找到使平方损失和最小的那个划分节点,即为最佳划分节点。
例如:以年龄7为划分节点,将小于7的样本划分为到左节点,大于等于7的样本划分为右节点。
左节点包括,右节点包括样本。
我们所有可能划分情况如下表所示:
划分点 | 小于划分点的样本 | 大于等于划分点的样本 | SE_l | SE_r | SE_sum |
---|---|---|---|---|---|
年龄5 | 无 | 0,1,2,3 | 0 | 0.3275 | 0.3275 |
年龄7 | 0 | 1,2,3 | 0 | 0.14 | 0.14 |
年龄21 | 0,1 | 2,3 | 0.02 | 0.005 | 0.025 |
年龄30 | 0,1,2 | 3 | 0.1866 | 0 | 0.1866 |
体重20 | 无 | 0,1,2,3 | 0 | 0.3275 | 0.3275 |
体重30 | 0 | 1,2,3 | 0 | 0.14 | 0.14 |
体重60 | 0,1 | 2,3 | 0.02 | 0.005 | 0.025 |
体重70 | 0,1,3 | 2 | 0.26 | 0 | 0.26 |
以上划分点是的总平方损失最小为0.025有两个划分点:年龄21和体重60,所以随机选一个作为划分点:
我们生成第一棵树为:
根据上图,我们的划分依据为:
选择的划分标准为体重,小于45kg的分为一类,为样本0和1;大于等于45kg的分为一类,为样本2和3。
第一次分开后再以年龄作为选择方式,左支中以6岁为分界线,将样本0和1分开;右支以25.5岁为分界线,将样本2和3分开。
计算残差,并把残差当做目标值训练第一棵树
这里其实和上面初始化学习器是一个道理,平方损失求导,令导数等于零,化简之后得到每个叶子节点的参数,其实就是标签值的均值。这个地方的标签值不是原始的,而是本轮要拟合的标残差。
此时,第一棵树如下所示:
此时可更新强学习器,需要用到参数学习率:learning_rate=0.1
,在公式中我们用l来表示:
为什么要用学习率呢?这是Shrinkage
的思想,如果每次都全部加上(学习率为1)很容易一步学到位导致过拟合。
Shrinkage
的思想我后面会介绍:
我们看一下第二棵树:
第五棵树为:
得到最后的强学习器:
三、预测样本4
样本4为25岁,65kg。
在中,体重65kg大于45kg(90斤),所以分到右节点;又因为年龄为25岁小于25.5,所以最终的预测值为0.225;
在中,最终预测为0.2025;
在中,最终预测为0.1822;
在中,最终预测为0.164;
在中,最终预测为0.1476;
最终预测结果:
四、调用GBDT算法包
我们使用sklearn中的GBDT算法包来实现,生成的树为:
五、源代码
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
import numpy as np
from sklearn.ensemble import GradientBoostingRegressor
import pandas as pd
import pydotplus
from pydotplus import graph_from_dot_data
from sklearn.tree import export_graphviz
data_1=[[5,40,1.1],[7,60,1.3],[21,140,1.7],[30,120,1.8]]
data=pd.DataFrame(data_1,columns=['age','weight','标签'])
X=np.array(data.iloc[:,:-1]).reshape((-1,2))
y=np.array(data.iloc[:,-1]).reshape((-1,1))
tree_reg1 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg1.fit(X, y)
y2 = y - np.array([1.475]*4).reshape((-1,1))
tree_reg2 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg2.fit(X, y2)
y3 = y2 - 0.1*np.array(tree_reg2.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg3 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg3.fit(X, y3)
y4 = y3 - 0.1*np.array(tree_reg3.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg4 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg4.fit(X, y4)
y5 = y4 - 0.1*np.array(tree_reg4.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg5 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg5.fit(X, y5)
y6 = y5 - 0.1*np.array(tree_reg5.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg6 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg6.fit(X, y6)
estimator=GradientBoostingRegressor(random_state=10)
estimator.fit(data.iloc[:,:-1],data.iloc[:,-1])
dot_data = export_graphviz(estimator.estimators_[5,0], out_file=None, filled=True, rounded=True, special_characters=True, precision=4)
graph = pydotplus.graph_from_dot_data(dot_data)
graph.write_pdf('estimator.pdf')
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