GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

一、算法简介:

GBDT 的全称是 Gradient Boosting Decision Tree,梯度提升树,在传统机器学习算法中,GBDT算的上是TOP前三的算法。

想要理解GBDT的真正意义,那就必须理解GBDT中的Gradient BoostingDecision Tree分别是什么?

1. Decision Tree:CART回归树
首先,GBDT使用的决策树是CART回归树,无论是处理回归问题还是二分类以及多分类,GBDT使用的决策树通通都是都是CART回归树。

为什么不用CART分类树呢?因为GBDT每次迭代要拟合的是梯度值,是连续值所以要用回归树。

对于回归树算法来说最重要的是寻找最佳的划分点,那么回归树中的可划分点包含了所有特征的所有可取的值。

在分类树中最佳划分点的判别标准是熵或者基尼系数,都是用纯度来衡量的,但是在回归树中的样本标签是连续数值,所以再使用熵之类的指标不再合适,取而代之的是平方误差,它能很好的评判拟合程度。

2.回归树生成算法:

输入:训练数据集GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

输出:回归树GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

在训练数据集所在的输入空间中,递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值,构建二叉决策树:

1)选择最优切分变量GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)与切分点GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),求解:
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遍历变量GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),对固定的切分变量GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)扫描切分点GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),选择使得上式达到最小值的对GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

(2)用选定的对GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)划分区域并决定相应的输出值:

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(3)继续对两个子区域调用步骤(1)和(2),直至满足停止条件。

(4)将输入空间划分为GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)个区域GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),生成决策树:

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3. Gradient Boosting:拟合负梯度

梯度提升树(Grandient Boosting)是提升树(Boosting Tree)的一种改进算法,所以在讲梯度提升树之前先来说一下提升树。

我们用上一篇文章的例子来理解:
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假如有个人30岁,我们首先用20岁去拟合,发现损失有10岁;我们去你和损失,拟合的数值为6岁,发现差距还有4岁,第三轮我们用3岁拟合剩下的差距,差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完,可以继续迭代下面,每一轮迭代,拟合的岁数误差都会减小。最后将每次拟合的岁数加起来便是模型输出的结果。

提升树算法:

(1)初始化GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

(2)对GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版):

1)计算残差GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

2)拟合残差GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)学习一个回归树,得到GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

3)更新GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

(3)得到回归问题提升树

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上面伪代码中的残差是什么?

在提升树算法中,假设我们前一轮迭代得到的强学习器是GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),损失函数是GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),我们本轮迭代的目标是找到一个弱学习器GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),最小化本轮的损失GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

当采用平方损失函数时:

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这里:GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),是当前模型拟合数据的残差(residual)。

所以,对于提升树来说只需要简单地拟合当前模型的残差。

回到我们上面讲的那个通俗易懂的例子中,第一次迭代的残差是10岁,第二次残差4岁…

当损失函数是平方损失和指数损失函数时,梯度提升树每一步优化是很简单的,但是对于一般损失函数而言,往往每一步优化起来不那么容易,针对这一问题,Freidman提出了梯度提升树算法,这是利用最速下降的近似方法,其关键是利用损失函数的负梯度作为提升树算法中的残差的近似值。那么负梯度长什么样呢?第GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)轮的第GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)个样本的损失函数的负梯度为:

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此时不同的损失函数将会得到不同的负梯度,如果选择平方损失:

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负梯度为:

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此时我们发现GBDT的负梯度就是残差,所以说对于回归问题,我们要拟合的就是残差。

那么对于分类问题呢?二分类和多分类的损失函数都是log loss,本文以回归问题为例进行讲解。

4. GBDT算法原理

上面两节分别将Decision Tree和Gradient Boosting介绍完了,下面将这两部分组合在一起就是我们的GBDT了。

GBDT算法:

(1)初始化弱学习器

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(2)对GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)有:

1)对每个样本GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),计算负梯度,即残差:

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2)将上步得到的残差作为样本新的真实值,并将数据GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)作为下棵树的训练数据,得到一颗新的回归树GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),其对应的叶子节点区域为GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)。其中GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)为回归树GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)的叶子节点的个数。

3)对叶子区域GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)计算最佳拟合值

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4)更新强学习器:

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(3)得到最终学习器

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二、实例详解

数据介绍:

如下表所示:一组数据,特征为年龄、体重,身高为标签值。共有5条数据,前四条为训练样本,最后一条为要预测的样本。

编号年龄(岁)体重(kg)身高(cm)(标签值)
05201.1
17301.3
221701.7
330601.8
4(预测)2565?

训练阶段:

参数设置:

学习率:learning_rate=0.1

迭代次数:n_trees=5

树的深度:max_depth=3

1.初始化弱学习器:

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损失函数为平方损失,因为平方损失函数是一个凸函数,直接求导,倒数等于零,得到GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

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令导数等于0:

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所以初始化时,c取值为所有训练样本标签值的均值:

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此时得到初始学习器:

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2.对迭代轮数m=1,2,…,M

由于我们设置了迭代次数:n_trees=5,这里的M=5。

计算负梯度,根据上文损失函数为平方损失时,负梯度就是残差残差,再直白一点就是y与上一轮得到的学习器GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)的差值:

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残差在下表列出:

编号真实值初始值残差
01.11.475-0.375
11.31.475-0.175
21.71.4750.225
31.81.4750.325

此时将残差作为样本的真实值来训练弱学习器GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),即下表数据:

编号年龄体重(kg)标签值
0520-0.375
1730-0.175
221700.225
330600.325

接着,寻找回归树的最佳划分节点,遍历每个特征的每个可能取值。从年龄特征的5开始,到体重特征的70结束,分别计算分裂后两组数据的平方损失,左节点平方损失为GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),右节点平方损失为GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

找到使平方损失和GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)最小的那个划分节点,即为最佳划分节点。

例如:以年龄7为划分节点,将小于7的样本划分为到左节点,大于等于7的样本划分为右节点。

左节点包括GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),右节点包括样本GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

我们所有可能划分情况如下表所示:

划分点小于划分点的样本大于等于划分点的样本SE_lSE_rSE_sum
年龄50,1,2,300.32750.3275
年龄701,2,300.140.14
年龄210,12,30.020.0050.025
年龄300,1,230.186600.1866
体重200,1,2,300.32750.3275
体重3001,2,300.140.14
体重600,12,30.020.0050.025
体重700,1,320.2600.26

以上划分点是的总平方损失最小为0.025有两个划分点:年龄21和体重60,所以随机选一个作为划分点:

我们生成第一棵树为:

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根据上图,我们的划分依据为:

选择的划分标准为体重,小于45kg的分为一类,为样本0和1;大于等于45kg的分为一类,为样本2和3。

第一次分开后再以年龄作为选择方式,左支中以6岁为分界线,将样本0和1分开;右支以25.5岁为分界线,将样本2和3分开。

计算残差,并把残差当做目标值训练第一棵树

这里其实和上面初始化学习器是一个道理,平方损失求导,令导数等于零,化简之后得到每个叶子节点的参数GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),其实就是标签值的均值。这个地方的标签值不是原始的GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版),而是本轮要拟合的标残差GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)

此时,第一棵树如下所示:
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此时可更新强学习器,需要用到参数学习率:learning_rate=0.1,在公式中我们用l来表示:

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为什么要用学习率呢?这是Shrinkage的思想,如果每次都全部加上(学习率为1)很容易一步学到位导致过拟合。

Shrinkage的思想我后面会介绍:

我们看一下第二棵树:
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第五棵树为:

在这里插入图片描述

得到最后的强学习器:
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三、预测样本4

样本4为25岁,65kg。

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GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)中,体重65kg大于45kg(90斤),所以分到右节点;又因为年龄为25岁小于25.5,所以最终的预测值为0.225;

GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)中,最终预测为0.2025;

GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)中,最终预测为0.1822;

GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)中,最终预测为0.164;

GBDT算法原理以及实例理解(含Python代码简单实现版)中,最终预测为0.1476;

最终预测结果:
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四、调用GBDT算法包

我们使用sklearn中的GBDT算法包来实现,生成的树为:

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五、源代码

from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
import numpy as np
from sklearn.ensemble import GradientBoostingRegressor
import pandas as pd
import pydotplus
from pydotplus import graph_from_dot_data
from sklearn.tree import export_graphviz
data_1=[[5,40,1.1],[7,60,1.3],[21,140,1.7],[30,120,1.8]]
data=pd.DataFrame(data_1,columns=['age','weight','标签'])
X=np.array(data.iloc[:,:-1]).reshape((-1,2))
y=np.array(data.iloc[:,-1]).reshape((-1,1))
tree_reg1 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg1.fit(X, y)
y2 = y - np.array([1.475]*4).reshape((-1,1))
tree_reg2 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg2.fit(X, y2)
y3 = y2 - 0.1*np.array(tree_reg2.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg3 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg3.fit(X, y3)
y4 = y3 - 0.1*np.array(tree_reg3.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg4 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg4.fit(X, y4)
y5 = y4 - 0.1*np.array(tree_reg4.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg5 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg5.fit(X, y5)
y6 = y5 - 0.1*np.array(tree_reg5.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg6 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg6.fit(X, y6)
estimator=GradientBoostingRegressor(random_state=10)
estimator.fit(data.iloc[:,:-1],data.iloc[:,-1])
dot_data = export_graphviz(estimator.estimators_[5,0], out_file=None, filled=True, rounded=True, special_characters=True, precision=4)
graph = pydotplus.graph_from_dot_data(dot_data)
graph.write_pdf('estimator.pdf')

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