Python矩阵相乘

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1 引言

矩阵相乘分为叉乘和点乘,叉乘就是矩阵的乘法,指矩阵A的第一行乘以矩阵B的第一列,各个元素对应相乘后求和作为第一个元素的值。能够进行叉乘运算的场景:A的行数等于B的列数。

矩阵的点乘就是矩阵A和矩阵B各个对应元素的相乘。能够进行点乘运算的场景:①A和B的行向量个数相等;② A和B的列向量的个数相等;③ A和B的行向量和列向量都相等。

在matlab里面实现点乘用“.*”,实现叉乘用“*”,非常清晰明了。但是在Python里面实现矩阵相乘时经常会报错,原因是在Python里面向量和矩阵的概念和数学里面的概念有点差异。

2 Python里向量和矩阵的概念

Pyhton的向量和矩阵是严格区分开来的,这个和数学上(或者Matlab里)的概念是不一样的:

向量:一维;
矩阵:最少是二维。

举例:

import numpy as np
A=np.array([1,2,3]) #一维向量,shape=(3,)
B=np.array([[1,2,3]]) #二维数组,shape=(1,3)
print(f'A={A}')
print(f'B={B}')
print(f'A.shape={A.shape}')
print(f'B.shape={B.shape}')
print(f'A.T={A.T}')
print(f'B.T={B.T}')

运行结果如下:

A=[1 2 3]
B=[[1 2 3]]
A.shape=(3,)
B.shape=(1, 3)
A.T=[1 2 3]
B.T=
    [[1]
     [2]
     [3]]

代码中:
① A是向量,其shape为(3,);其B是行数为1的二维数组,其shape为(1,3);
② 向量没有转置的概念。A的转置还是A,而B的转置是从
行数为1的二维数组变成了列数为1的二维数组,这一点和matlab里面是不一样的。

由于以上两点原因,在计算矩阵相乘时,初学者很容易犯错。

3 矩阵相乘——Python

一般情况下,矩阵相乘会有以下三种想要的结果:

① 对位乘积:两个矩阵shape相同,各元素对应相乘,结果是一个相同shape的矩阵
② 矩阵乘法:数学上的矩阵乘法,结果是一个矩阵
③ 向量内积:对应元素相乘,再相加,结果是一个数值

对应的实现方式如下:

① 对位乘积: a*b 、multiply(a,b)
② 矩阵乘积: dot(a,b) 、matmul(a,b) 、a@b
③ 向量内积: dot(a,b)、a@b   
当a,b均为一维向量

实际上对位乘积采用的是点乘,矩阵乘积或者向量内积采用的是叉乘。

4 Python矩阵相乘举例说明

从Python里面向量和矩阵的概念可知,向量和矩阵可以分为三种形式:一维向量、行数为1或者列数为1的二维矩阵、行数和行数均大于等于2的二维矩阵。对于初学者来说很容易把一维向量和行数为1或者列数为1的二维矩阵弄混,从而导致矩阵相乘出错。本文介绍了一种可以适用所有情况的矩阵相乘的表示方法,即只要能先将A和B的形式定义清楚,就能在实现点乘和叉乘时不出错。

 矩阵的乘法有三种情况对位乘积、矩阵乘法、向量内积。对位乘积的结果是一个矩阵,矩阵乘法的乘积是一个矩阵,向量内积的结果是一个数,所以A和B的形式定义的思路如下:

① 对于对位乘积、矩阵乘法,其应用对象是矩阵,当A和B其中任意一个为向量时,先将向量转换成行数为1或者列数为1的二维矩阵,再参与运算;

② 对于向量内积,其应用对象是向量,当A和B其中任意一个为行数为1或者列数为1的二维矩阵时,先将行数为1或者列数为1的二维矩阵转换成一维向量,再参与运算;

只要遵守上述两点原则,矩阵相乘就不会出错。实现上述两点的语法如下:

① 向量转二维矩阵,采用newaxis

import numpy as np
A=np.array([1,2,3]) #向量,shape=(3,),不能进行转置操作
print(A)
A=A[:,np.newaxis].T #二维数组,shape=(1,3),可以进行转置操作
print(A)

运行结果如下:

[1 2 3]
[[1 2 3]]

② 二维数组转向量,采用ravel()函数:

import numpy as np
A=np.array([[1,2,3]]) #二维数组,shape=(1,3),可以进行转置操作
print(A)
A=A.ravel() #向量,shape=(3,),不能进行转置操作
print(A)

运行结果如下:

[[1 2 3]]
[1 2 3]

4.1 对位乘积举例说明

对位乘积(点乘)前提条件:① 行数、列数都相等;② 行数或者列数其中之一相等。

① 场景1:二维矩阵.*二维矩阵,没有向量

import numpy as np
#------没有向量的场景,二维数组*二维数组-----#
A=np.array([[1,2],[4,5],[3,6]]) #行数为3,列数为2二维数组
B=np.array([[1,2],[1,2],[1,3]])  #行数为3,列数为2二维数组
C=np.array([[2,1]]) #行数为1,列数为2的二维数组
D=np.array([[3],[1],[2]]) #行数为3,列数为1的二维数组
print(f'A*B={A*B}')   #矩阵点乘
print(f'A*C={A*C}')   #行数不够,采用广播机制进行运算
print(f'A*D={A*D}')   #列数不够,采用广播机制进行运算

运行结果如下:

A*B=[[ 1  4]
 [ 4 10]
 [ 3 18]]
A*C=[[2 2]
 [8 5]
 [6 6]]
A*D=[[ 3  6]
 [ 4  5]
 [ 6 12]]

② 场景2:二维数组.*向量

import numpy as np
#------二维矩阵*向量-----#
A=np.array([[1,2],[4,5],[3,6]]) #二维数矩阵,shape=(3,2)
B=np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) #二维矩阵,shape=(2,3)
C=np.array([2,1,2]) #向量,shape=(3,)
C=C[:,np.newaxis] #将C从向量变成二维数组,shape=(3,1)
print(f'A*C={A*C}') #A的行数等于C的行数,广播机制
print(f'B*C.T={B*C.T}') #B的列数等于C.T的列数,广播机制

运行结果如下:

A*C=[[ 2  4]
 [ 4  5]
 [ 6 12]]
B*C.T=[[ 2  2  6]
 [ 8  5 12]]

4.2 矩阵乘法

矩阵乘法的前提条件:A×B,A的列数等于B的行数

① 场景1:二维矩阵×二维矩阵,没有向量

import numpy as np
#------二维矩阵×二维矩阵-----#
A=np.array([[1,2],[4,5],[3,6]]) #二维数组,shape=(3,2)
B=np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) #二维矩阵,shape=(2,3)
C=np.array([[2,1]]) #二维矩阵,shape=(1,2)
print(f'A×B={A@B}') #A的列数等于B的行数
print(f'A×C={A@C.T}') #A的列数等于C.T的行数

运行结果如下:

A×B=[[ 9 12 15]
 [24 33 42]
 [27 36 45]]
A×C=[[ 4]
 [13]
 [12]]

② 场景2:二维矩阵×向量

#------二维矩阵×向量-----#
A=np.array([[1,2],[4,5],[3,6]]) #二维数组,shape=(3,2)
B=np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) #二维矩阵,shape=(2,3)
C=np.array([2,1]) #向量,shape=(2,)
C=C[:,np.newaxis] #转换成二维矩阵,shape=(2,1)
print(f'A×C={A@C}') #A的列数等于C的行数
print(f'B×C={B.T@C}') #B.T的列数等于C的行数

运行结果如下:

A×C=[[ 4]
 [13]
 [12]]
B×C=[[ 6]
 [ 9]
 [12]]

4.3 向量内积

向量乘积的前提条件是向量的长度相等。

① 场景1:向量×向量

import numpy as np
#----向量×向量
A=np.array([1,2,3]) #向量,shape=(3,)
B=np.array([2,3,1]) #向量,shape=(3,)
print(A@B)
print(A@B.T)
print(A.T@B)
print(A.T@B.T)

运行结果:

11
11
11
11

可以看出,Python里面向量没有转置的概念。

② 向量×二维数组

import numpy as np
#----向量×二维数组
A=np.array([1,2,3]) #向量,shape=(3,)
B=np.array([[2,3,1]]) #二维数组,shape=(3,1)
B=B.ravel() #二维数组转换成向量,shape=(3,)
print(A@B)
print(A@B.T)
print(A.T@B)
print(A.T@B.T)

    运行结果:

11
11
11
11

如果不将二维数组转换成向量,后面的程序会报错。  

广播机制参考链接:

python的广播机制详解_liming89的博客-CSDN博客_python广播机制

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