0. 官方说明
在 python 里用非线性规划求极值，最常用的就是 scipy.optimize.minimize()。最小化一个或多个变量的标量函数。（Minimization of scalar function of one or more variables.）
scipy.optimize.minimize(fun, x0, args=(), method=None, jac=None, hess=None, hessp=None, bounds=None, constraints=(), tol=None, callback=None, options=None)
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1. Parameters
-
fun：需要被最小化的目标函数（objective function） -
x0：初始猜想值，形状(n, )- 大小为 (n,) 的实数元素数组，其中 “n” 是自变量的数量。
-
args：tuple元组，可选的 Optional- 传递给目标函数及其导数（fun、jac 和 hess 函数）的额外参数。
-
method: str or callable, 可选的
求解器的类型，应该从下面选取一种
（如果未给出，则选择 BFGS、L-BFGS-B、SLSQP 之一，具体取决于问题是否有约束或界限。）- 'Nelder-Mead' :ref:`(see here) <optimize.minimize-neldermead>` - 'Powell' :ref:`(see here) <optimize.minimize-powell>` - 'CG' :ref:`(see here) <optimize.minimize-cg>` - 'BFGS' :ref:`(see here) <optimize.minimize-bfgs>` - 'Newton-CG' :ref:`(see here) <optimize.minimize-newtoncg>` - 'L-BFGS-B' :ref:`(see here) <optimize.minimize-lbfgsb>` - 'TNC' :ref:`(see here) <optimize.minimize-tnc>` - 'COBYLA' :ref:`(see here) <optimize.minimize-cobyla>` - 'SLSQP' :ref:`(see here) <optimize.minimize-slsqp>` - 'trust-constr':ref:`(see here) <optimize.minimize-trustconstr>` - 'dogleg' :ref:`(see here) <optimize.minimize-dogleg>` - 'trust-ncg' :ref:`(see here) <optimize.minimize-trustncg>` - 'trust-exact' :ref:`(see here) <optimize.minimize-trustexact>` - 'trust-krylov' :ref:`(see here) <optimize.minimize-trustkrylov>` - custom - a callable object (added in version 0.14.0), -
jac: {callable, ‘2-point’, ‘3-point’, ‘cs’, bool}, optional ，目标函数的雅可比矩阵。 -
bounds：可选项，变量的边界（仅适用于L-BFGS-B，TNC和SLSQP）。以（min，max）对的形式定义 x 中每个元素的边界。如果某个参数在 min 或者 max 的一个方向上没有边界，则用 None 标识。如（None, max） -
constraints：约束条件（只对 COBYLA 和 SLSQP）。 -
bounds：可选项，变量的边界（仅适用于L-BFGS-B，TNC和SLSQP）。以（min，max）对的形式定义 x 中每个元素的边界。如果某个参数在 min 或者 max 的一个方向上没有边界，则用 None 标识。如（None, max） -
constraints：约束条件（只对 COBYLA 和 SLSQP）。
2. Returns
res：优化结果- 优化结果表示为“OptimizeResult”对象。
- 重要的属性是：
x解决方案数组，success一个布尔标志，指示优化器是否成功退出，message描述终止原因。 有关其他属性的描述，请参阅OptimizeResult。
3. 案例
1）无约束求极值
计算 1/x+x 的最小值
# coding=utf-8
from scipy.optimize import minimize
import numpy as np
#demo 1
#计算 1/x+x 的最小值
def fun(args):
a=args
v=lambda x:a/x[0] +x[0]
return v
if __name__ == "__main__":
args = (1) #a
x0 = np.asarray((2)) # 初始猜测值
res = minimize(fun(args), x0, method='SLSQP')
print(res.fun) # 函数的最小值
print(res.success)
print(res.x) # x 解决方案数组
执行结果：
2.0000000815356342 （函数的最小值）
True
[1.00028559]
2）有约束求极值
例2-1 计算 (2+x1)/(1+x2) – 3×1+4×3 的最小值， x1, x2, x3 都处于[0.1, 0.9] 区间内。
def fun(args):
a,b,c,d = args
v = lambda x: (a+x[0])/(b+x[1]) -c*x[0]+d*x[2]
return v
def con(args):
# 约束条件 分为eq 和ineq
# eq表示 函数结果等于0 ； ineq 表示 表达式大于等于0
x1min, x1max, x2min, x2max, x3min, x3max = args
cons = ({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[0] - x1min},\
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[0] + x1max},\
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1] - x2min},\
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[1] + x2max},\
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[2] - x3min},\
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[2] + x3max})
return cons
# 定义常量值
args = (2,1,3,4) # a,b,c,d
# 设置参数范围/约束条件
args1 = (0.1,0.9,0.1, 0.9,0.1,0.9) # x1min, x1max, x2min, x2max
cons = con(args1)
# 设置初始猜测值
x0 = np.asarray((0.5,0.5,0.5))
res = minimize(fun(args), x0, method='SLSQP',constraints=cons)
print(res.fun)
print(res.success)
print(res.x)
执行结果：
- 0.773684210526435
- True
- [0.9 0.9 0.1]
例2-2 解决以下优化问题
# 目标函数
def fun(a,b,c,d):
def v(x):
return np.log2(1+x[0]*a/b)+np.log2(1+x[1]*c/d)
return v
#限制条件函数
def con(a,b,i):
def v(x):
return np.log2(1 + x[i] * a / b)-5
return v
# 定义常量值
args = [2, 1, 3, 4] # a,b,c,d
args1 = [2, 5, 6, 4]
# 设置初始猜测值
x0 = np.asarray((0.5, 0.5))
#设置限制条件
cons = ({'type': 'ineq', 'fun': con(args1[0],args1[1],0)},
{'type': 'ineq', 'fun': con(args1[2],args1[3],1)},
)
res = minimize(fun(args[0], args[1], args[2], args[3]), x0, constraints=cons)
print(res.fun)
print(res.success)
print(res.x)
输出结果：
- 11.329796332293162
- True
- [77.5 20.66666658]
参考资料
[1] 官网资料 2022.9.19
[2] 非线性规划（scipy.optimize.minimize）;
文章出处登录后可见！
