文章目录
- 一、极大极小搜索(Minimax Algorithm)
- 二、α-β剪枝(Alpha-Beta Pruning)
- 三、解题技巧
一、极大极小搜索(Minimax Algorithm)
在零和博弈(有完整信息的,确定的、轮流行动的,两个参与者收益之和为0的博弈)中,双方都希望自己获胜,因此每一步都选择对自己最有利,对对方最不利的做法。
假设我们是参与博弈的一方。我们用静态估计函数来估计博弈双方的态势:
- 有利于我方的态势:
- 有利于敌方的态势:
- 双方均衡的态势:
显然,我方希望最大化,敌方希望最小化。因此称我方为Max方,敌方为Min方。
在Max方的角度,因为是我们自己做决策,我们可以选择任意一种方案,所以我们只需选择收益最大的方案,也就是说每种方案之间是“或”的关系。
而对于Min方而言,因为是敌方做决策,我们无法控制敌方选择哪种策略,假设敌方足够聪明,我们应该假设敌方选择对他最有利的方案,也就是对我们最不利的方案、使我们收益最小的方案,所以对他而言每种方案之间是“与”的关系。
假设我们在进行动态博弈——你一步,我一步,且一方做完决策之后另一方知晓他所做的决策,那么我们可以把双方的行动展开成一棵树——博弈树。
在博弈树中,每个节点代表一种格局,每条边代表Max方或Min方的一步操作。那些下一步该Max方走的节点称为Max节点,下一步该Min方走的节点称为Min节点。
博弈树的特点:
(1) 博弈的初始状态是初始节点(假如Max方为先手,则初始节点为Max节点);
(2) Max节点是“或”节点,Min节点是“与”节点,这两种节点逐层交替出现;
(3) 整个博弈过程始终站在一方(一般为Max方)的立场上。
博弈树上有以下几种节点:
- 端节点(叶节点)
- 可解节点
- 非可解节点
- 与节点(Min节点)
- 或节点(Max节点)
其中,端节点可能是可解节点或非可解节点。使自己一方(Max方)获胜的为可解节点,使对方(Min)方获胜的为非可解节点。
对于当前的格局,我们的目标是找到一个最有利于自己获胜的策略。将当前棋局作为根节点,假设现在该Max方走了,Max方需要枚举根节点的所有子节点,来判断哪个子节点所对应的格局的静态估计函数的数值,那么这个节点对于Max方就最有利,Max方的下一步应该将格局转变为这个子节点的格局。
设是节点所对应的格局的静态估计函数数值(也称效用值)。越大,节点的格局对Max方越有利,对Min方越不利。显然,博弈树每层的节点类型的交替的——与节点、或节点、与节点、或节点、……,因为博弈双方是轮流采取行动的。
现在,要获得节点的值,就需要进行极小极大搜索(min-max search)。极小极大搜索是指:在有限的深度范围内,使用深度优先搜索(DFS)算法,利用递归回溯从可能的走法中选择对自己最有利的走法,即让自己的收益最大、对手的收益最小。
- 或节点(Max方):该节点的效用值为所有子节点效用值的最大值。即:若节点为或节点且的子节点为,则。
- 与节点(Min方):该节点的效用值为所有子节点效用值的最小值。即:若节点为与节点且的子节点为,则。
- 端节点:这类节点的效用值取决于具体问题。
由此我们可以归纳出极小极大搜索算法(Minimax Algorithm)的一般步骤:
(1) 利用广度优先搜索算法生成Max方当前状态下可猜测的步博弈树;
(2) 定义静态估计函数,计算端节点的效用值;
(3) 回溯评估:利用极大极小运算自下而上逐层推出各节点的效用值,其中在Max节点取最大值,在Min节点取最小值;
(4) 根据当前状态子节点的效用值做出最优决策,状态转移到子节点的状态,对方变为Max方,回到(1)开始新的搜索。
P.S. 注意画博弈数的时候,Max节点用方框表示,Min节点用圆表示,且Min节点的下方要画一条弧线!
例 (井字棋)给定一个的棋盘,Max方和Min方轮流走棋,每次仅能在空格摆一个自己的棋,自己的棋子三个连成一线即为获胜。
规定估计函数为:
- 若格局是Max方获胜,则;
- 若格局是Min方获胜,则;
- 若双方均未获胜,则,其中
- 表示所有空格全放上Max方的棋子后三子一线的总数,
- 表示所有空格全放上Min方的棋子后三子一线的总数。
极大极小搜索过程比较简单,但当考虑的步数过多后就会导致博弈树太大、搜索效率变低,需要进行优化。
二、α-β剪枝(Alpha-Beta Pruning)
α-β剪枝是一种优化方法,在博弈树生成的过程中同时计算各节点的估计值及倒推值,通过对估值的上下限进行估计,减去没有用的分支,减少搜索范围,提高效率。
α-β剪枝的基本思想:
- “或”节点(Max方):取当前子节点中效用值的极大值为该节点效用值的下界,称为α(α≥该极大值),只有当下一个节点的值大于α才会被选择
- “与”节点(Min方):取当前子节点中效用值的极小值为该节点效用值的上界,称为β(β≤该极小值),只有当下一个节点的值小于α才会被选择
α:目前Max方可以搜索到的最好值,初始值为
β:目前Min方可以接受的最坏值,初始值为
注意:
设节点为或节点,的效用值为,不一定成立。
同理,设为与节点,的效用值为,也不一定成立。
α,β是中间量,它们的作用是排除对结果没有影响的分支,不能决定最终节点的效用值。
或节点(Max方)α剪枝规则:
设当前节点为,是或节点,则的子节点都是与节点或端节点,设为。我们在扫描的过程中,若发现的β值小于等于其任何祖先节点的α值时,则对该节点以下的分支停止搜索,且的最终倒推值就是其β值(可能与未加优化的极大极小搜索的结果不同)。
与节点(Min方)β剪枝规则:
设当前节点为,是与节点,则的子节点都是或节点或端节点,设为。我们在扫描的过程中,若发现的α值大于等于其任何祖先节点的β值时,则对该节点以下的分支停止搜索,且的最终倒推值就是其α值(可能与未加优化的极大极小搜索的结果不同)。
用一个实际的例子来说明:如果你和一个人在下棋,现在轮到你走。现在你有两种选择:走“A”或者走“B”。如果走“A”,那么你的局势会变好。走“B”也比较好,但是如果你走“B”的话,对方可以在两步之内获胜,这对你是非常不利的。也就是说,你考虑到了走“B”的最坏结果,那么其他可能的结果就可以不考虑了(因为对手不傻,肯定会想方设法使你败北),那么你相当于在博弈树中剪掉了“B”的其他情况。最终,因为“A”至少不会让你在两步以内输棋,所以你选择走“A”。(摘自维基百科)
核心思想是:如果存在一个比某一分支更好的走法,那么就不考察这一分支。
α-β剪枝的一个Python实现:
# encoding: GB2312
tree = [ # 博弈树的结构
[
[
[4, 8, 6],
[1, 9]
],
[
[5, 8],
[-1, 2]
]
],
[
[
[0, 3],
[-6, 6]
],
[
[1],
[0, 9, -7]
]
]
]
def is_terminal(node): # 判断是否为端节点
return isinstance(node, int)
infinity = int(1e10) # 无穷大
def alpha_beta(node, alpha, beta, ismax):
# node: 当前节点
# ismax: 若为True则当前节点是Max节点,否则为Min节点
# 当node为Max节点时,alpha为当前节点的α,beta为父节点的β
# 当node为Min节点时,alpha为父节点的α,beta为当前节点的β
if is_terminal(node):
return node # 若当前节点为端节点,直接返回其效用值
if ismax:
value = -infinity # 当前节点的效用值
for child in node:
value = max(value,
alpha_beta(child, alpha, beta, False))
# 当前节点的效用值是子节点效用值的最大值
alpha = max(alpha, value)
if value >= beta:
# 这个子节点的效用值不小于beta,不可能被选择
break # 进行β剪枝
return value
else:
value = +infinity
for child in node:
value = min(value,
alpha_beta(child, alpha, beta, True))
beta = min(beta, value)
if value <= alpha:
# 这个子节点的效用值不大于alpha,不可能被选择
break # alpha剪枝
return value
print(alpha_beta(tree, -infinity, +infinity, True))
三、解题技巧
对于我们的期末考试而言,给你一棵树,请问需要在哪里剪枝。其实我们并不需要搞那些α,β什么的,只需要简单的逻辑就能算出来。
考虑下面的树:
现在考虑节点。Max方选择去而不是去的条件是什么呢?就是。而,所以转化为,即这是一个且的关系。现在,已经不满足了,所以这个且的关系肯定不成立,不论是多少都不可能成立,所以Max方不会去。因此要把剪掉,。
再考虑节点。Min方去而不是去的条件是什么呢?就是。而,故转化为又,,又转化为其中、,都不小于,所以不成立,那么也不可能成立,所以就没必要考察了,把剪掉,并令。
再考虑节点。Max方不去而是去的节点是什么呢?是。而,故转化为而,,故转化为又,,,,故转化为观察这个式子。这个式子成立,需要和都成立。而前者成立,只需使或成立。
现在不大于,故不成立,不论为何值,因此剪掉。而也不大与4,故不成立,不论为和值,因此剪掉。这意味着,不成立。那么的条件就已经不能满足了,这边彻底没戏了,所以把剩下没去过的的都剪掉——也就是把剪掉。最后,,也就是说在状态下Max方选择去。
综上,要剪掉的节点是。如下图所示:
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