滑模控制理论(SMC)

滑模控制理论(Sliding Mode Control,SMC)

滑膜控制理论是一种建立在现代控制理论基础上的控制理论，其核心为李雅普诺夫函数，滑膜控制的核心是建立一个滑模面，将被控系统拉倒滑模面上来，使系统沿着滑模面运动，滑膜控制的优势在于无视外部扰动和不确定性参数，采取一种比较暴力的方式来达到控制目的，但是这种暴力也带来了一些问题，就是正负信号的高频切换，一般的硬件是无法进行信号的高频切换的，所以需要一些其他的方式避免这个问题，还有就是型号的高频切换会导致输出的信号出现震荡，导致系统在所选取的滑模面之间来回震荡，这种震荡是无法消除的，这也是滑膜控制的一个问题。

优点

滑动模态可以设计

对扰动不敏感

缺点

硬件无法适应高频的信号切换

信号高频切换带来的输出信号震荡

系统建模

我们可以建立一个简单的二阶系统的状态方程

我们的控制目标很明确，就是希望

设计滑模面

这里有个问题就是，滑模面是个什么东西，为什么要设计成这个样子，为什么不是别的样子，其实这个涉及一个问题就是我们控制的目标是什么，是，那如果呢

可以看出状态量最终都会趋于0，而且是指数级的趋于0。 越大，速度也就越快。所以如果满足,那么系统的状态将沿着滑模面趋于零，（称之为滑模面)

设计趋近律

上面说，如果 状态变量最终会趋于0，可以如何保证 呢，这就是控制率 需要保证的内容了

趋近律就是指 ，趋近律的一般有以下几种设计

根据以上的趋近律，我们就可以获得控制量 了(选取第一种控制率)。

我们对系统施加控制量 即可保证系统最终稳定在原点。

证明有效性

在控制原理中用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，对于系统状态方程 ，我们此时的目标已经是希望把系统拉倒滑模面附近了，控制目标是 ,对于 如果存在一个连续函数 满足下面两个式子，那么系统将在平衡点 处稳定，即

我们证明的方法就是令 ，很明显我们满足第一个条件，我们对 进行求导，

也是满足第二个条件的，所以最终系统会稳定在滑膜面附近，这也就意味着两个变量也会稳定在滑模面期望他们稳定在的位置，即零点。

无限时间问题

上面的分析看似无懈可击，实际上是没什么用的，因为我们最终得到的结论是，在时间趋于无穷时，系统的状态必将趋于0，这有用吗，并没有，因为无限时间这太恐怖了，人死了系统都没稳定的话这没什么意义，所以我们必须要求他是有限时间可达的，所以我们修改一个李雅普诺夫的第二个条件

对于改进后的这个条件可以分离变量再积分

根据上面的等式可以看出， 将在有限时间达到稳定，稳定的最终时间为

因为李雅普诺夫条件的改变，控制器 也需要作出相应改变

也就是给之前随意指定的 增加了一个控制条件

干扰问题

上面的讨论其实还基于一个假设，没有干扰，没有干扰的控制是非常好做的，也是没什么实际意义的，这里我们将干扰项加入状态方程，之前我们讲到了滑膜方法对干扰是不敏感的，这里我们将从原理上解释为什么滑膜方法对干扰不敏感。

加入干扰后的状态方程

这对我们设计滑膜面没有什么影响，我们的滑膜面如下

我们的趋近律设计也不变

我们的控制量 也不变

分析稳定性我们依旧使用李雅普诺夫函数

其中 为干扰 的上界

所以我们直接证明了，当我们的干扰有上界的情况下，我们的滑膜参数 $\varepsilon $ 只需要满足上述条件就可以以指数级的收敛速度收敛到滑膜面附近。

三阶系统滑膜设计方法示例

三阶系统的模型如下

假设，我们期望的 的目标是 ，注意，这里和前文不同，这里的控制目标不在是0了

设计滑模面

设计李雅普诺夫函数

对李雅普诺夫函数进行求导

这里我们设计趋近律

得到控制量

带入李雅普诺夫函数可得

这里可以看到系统必将稳定，如果需要控制到达稳定的时间就限制 即可