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一、例子介绍

本文使用的是官网上提供的第二例子（ MOOSE|EX02），这个例子的求解的方程是在扩散方程（泊松方程）之上添加平流项，平流速度 MOOSE平台官方第二个例子分析——关于创建Kernel，求解对流扩散方程在方向上为，否则为零。其边界条件采用Dirichlet边界。在求解域底部上，在顶部，在剩余的其他边界上，其中是边界法向向量。

MOOSE平台官方第二个例子分析——关于创建Kernel，求解对流扩散方程

二、FEM

1、生成弱形式

a.等式两侧同时乘测试函数

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这里

b.对整个求解域积分

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c.分部积分

由于求导的性质有 MOOSE平台官方第二个例子分析——关于创建Kernel，求解对流扩散方程，带入（2.2）式左侧第一项得:

d.应用散度定理

散度定理可以理解成：考虑在流动得液体中取出体积为 MOOSE平台官方第二个例子分析——关于创建Kernel，求解对流扩散方程的部分，则流过该部分表面的液体通量等于散度在整个体积上的积分。

左侧是在整个体积上的积分，右侧是在的表面边界上的积分,是边界上外法线方向。
对（2.3）式的左侧第二项应用散度定理，（2.3）式可以写成
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e.写成内积的形式

可以把（2.4）式用内积形式表示，其中每项都能在MOOSE中找到现有类进行继承
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2、等参单元

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其中

这样刚度矩阵的

3、高斯积分

进行离散后的积分求解起来很麻烦，为了方便就采用了高斯积分的形式
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是正交点的位置，是它的相关权重。

最终我们只需求解:
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MOOSE平台关于高斯积分的介绍Quadrature,目前还没有太多说明。

三、输入文件

MOOSE会把输入文件和编译的app一块编译成而执行文件，然后运行输出，MOOSE的输入文件采用的是“分层输入文本”（hit）格式，基本的MOOSE输入文件包含六个部分

	[Mesh]:定义求解的区域及剖分
	[Variables]:定义需要求解的变量
	[Kernels]:定义要解决的方程
	[BCs]:定义边界条件
	[Executioner]:定义解决问题的类型和方式
	[Outputs]:定义结果如何输出

当然根据求解问题的需要也可以添加AuxVariables、AuxKernels、preconditioners、Postprocessors、Functions等更多的层。

[Kernels]                  	 #最外层名称不能随意更改，要使用MOOSE支持的层名
  [Kernel_1]		    	 #内存名称可以用户自定义，方便阅读
    type = Kernel_name  	 #要用的物理模块，必须是编译的app包含在内的
    variable = variable1 	 #该物理模块需要求解的变量名称
    						 #根据Kernel的类型设置其他参数
  []					 
  [Kernel_2]		    	 #需要多个物理模块，可以并列添加内部层
  	type = Kernel_name   	 #同一个物理模块可以多次调用求解不同的变量
    variable = variable2	 # 
  []
[]							 #内外层的开始和结尾都需要中括号

1、网格[mesh]

本例使用的网格是已经生成的ExodusII格式的网格文件，所以直接导入就行。共有3774个节点，2476个四边形剖分。

[Mesh]
  file = mug.e  
[]

MOOSE支持很多类型的网格文件导入，具体可以查看官网介绍（FileMesh）。

2、变量[Variables]

对于改问题要求解的方程
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其中只包含一个变量。

[Variables]
  [convected]     		 #变量的名称
    order = FIRST		 #基函数插值类型	
    family = LAGRANGE	 #阶数 
  []					 #网格是QUAD4剖分，所以该变量采用拉格朗日一次插值
[]

3、物理模块[Kernels]

控制方程的弱形式除去边界边界项外还有两项：扩散项和对流项，所以物理模块应该选用两个。

[Kernels]
  [diff]
    type = Diffusion
    variable = convected
  []

  [conv]
    type = ExampleConvection
    variable = convected
    velocity = '0.0 0.0 1.0'
  []
[]

物理模块由两个文件构成，存放在./include中的.h类型的头文件和存放在./src中.C类型的源文件
对于Diffusion模块，其头文件Diffusion.h

#pragma once	//避免多次编译

#include "Kernel.h" //调用

class Diffusion : public Kernel	//继承Kernel类
{
public:
//InputParameters：主要的MOOSE类负责处理几乎每个MOOSE系统中的用户定义参数。
  static InputParameters validParams();  

  Diffusion(const InputParameters & parameters);//构造函数

protected:
  virtual Real computeQpResidual() override;//残差求解函数，必须重载

  virtual Real computeQpJacobian() override;//雅可比矩阵求解函数，必须重载
};

源文件Diffusion.C

#include "Diffusion.h"
//注册类名，通过这个将类编译进程序使用
registerMooseObject("MooseApp", Diffusion);

InputParameters
Diffusion::validParams() //构造Diffusion模块获取物理变量的函数
{
  InputParameters params = Kernel::validParams();
  //addClassDescription添加类描述
  params.addClassDescription("The Laplacian operator ($-\\nabla \\cdot \\nabla u$), with the weak "
                             "form of $(\\nabla \\phi_i, \\nabla u_h)$.");
  return params;
}

Diffusion::Diffusion(const InputParameters & parameters) : Kernel(parameters) {}

Real
Diffusion::computeQpResidual()
{
  return _grad_u[_qp] * _grad_test[_i][_qp];//继承的是Kernel，所以要使用_grad_test或_test
}

Real
Diffusion::computeQpJacobian()
{
  return _grad_phi[_j][_qp] * _grad_test[_i][_qp];
}

平流项模块的头文件ExampleConvection.h

#pragma once

#include "Kernel.h"
class ExampleConvection : public Kernel
{
public:
  /**这是构造函数的声明。 这个函数接受一个字符串和一个InputParameters对象，
     就像其他Kernel-derived类。  
   */
  ExampleConvection(const InputParameters & parameters);

  /**
	validParams返回这个内核接受/需要的参数
   */
  static InputParameters validParams();

protected:
  /**
	计算一个积分点（节点）上的残差
   */
  virtual Real computeQpResidual() override;

  /**
   * Responsible for computing the diagonal block of the preconditioning matrix.
   * This is essentially the partial derivative of the residual with respect to
   * the variable this kernel operates on ("u").
   *
   * Note that this can be an approximation or linearization.  In this case it's
   * not because the Jacobian of this operator is easy to calculate.
   *
   * This function should always be defined in the .C file.
   */
  virtual Real computeQpJacobian() override;

private:
  /**
  用来储存向量，便于计算内积
   */
  RealVectorValue _velocity;
};

源文件ExampleConvection.C

#include "ExampleConvection.h"
//注册
registerMooseObject("ExampleApp", ExampleConvection);

//这个函数定义了这个内核的有效参数和它们的默认值
InputParameters
ExampleConvection::validParams()
{
  InputParameters params = Kernel::validParams();
  //这里使用了RealVectorValue所以velocity的传入值是向量
  params.addRequiredParam<RealVectorValue>("velocity", "Velocity Vector");
  return params;
}

ExampleConvection::ExampleConvection(const InputParameters & parameters)
  : // 必须先调用基类的构造函数
    Kernel(parameters),
    _velocity(getParam<RealVectorValue>("velocity"))
{
}

Real
ExampleConvection::computeQpResidual()
{
  // velocity * _grad_u[_qp] is actually doing a dot product
  return _test[_i][_qp] * (_velocity * _grad_u[_qp]);
}

Real
ExampleConvection::computeQpJacobian()
{
  // the partial derivative of _grad_u is just _grad_phi[_j]
  return _test[_i][_qp] * (_velocity * _grad_phi[_j][_qp]);
}

4、边界条件[BCs]

[BCs]
  [bottom]
    type = DirichletBC
    variable = convected
    boundary = 'bottom'
    value = 1
  []

  [top]
    type = DirichletBC
    variable = convected
    boundary = 'top'
    value = 0
  []
[]

5、求解方式[Executioner]

[Executioner]
  type = Steady			#稳态，不含时间
  solve_type = 'PJFNK'	#带有预处理的JFNK
[]

6、输出[Outputs]

[Outputs]
  execute_on = 'timestep_end' 	#时间结束执行该对象
  exodus = true					
[]

7、ex02_oversample.i

[Mesh]
  type = GeneratedMesh    #常用网格生成类
  dim = 2				  #网格维度是2
  # x的最大坐标xmax为可选参数默认为1
  # x的最小坐标xmin为可选参数默认为0
  nx = 2				  # x方向剖分的数目，默认为1
  ny = 2				  # y方向剖分的数目，默认为1
  #这里选择的维度是2，所以不写nz,zmax应该也行，但是官网写了
  nz = 0				  
  zmax = 0				  # z方向的最大坐标		
  elem_type = QUAD9 #网格剖分类型，默认是QUAD4，四个自由度的四边形网格
[]

[Variables]
  [./diffused]
    order = SECOND	#网格9有个自由度，所以要采用二阶插值，默认是拉格朗日类型
  [../]
[]

[Kernels]
  [./diff]
    type = Diffusion
    variable = diffused
  [../]
[]

[DiracKernels]
  [./foo]
    variable = diffused        #被施加负载的变量
    type = ConstantPointSource #在网格中的单个位置施加负载
    value = 1				   # 负载
    point = '0.3 0.3 0.0'	   #施加负载的位置
  [../]
[]

[BCs]
  [./all]
    type = DirichletBC
    variable = diffused
    boundary = 'bottom left right top'
    value = 0.0
  [../]
[]

[Executioner]
  type = Steady
  solve_type = 'PJFNK'
[]

[Outputs]
  execute_on = 'timestep_end'
  exodus = true
  [./refine_2]
    type = Exodus			#输出文件类型
    file_base = oversample_2 #输出文件名
    refinements = 2			
  [../]
  [./refine_4]
    type = Exodus
    file_base = oversample_4
    #Number of uniform refinements for oversampling 
    #(refinement levels beyond any uniform refinements)
    refinements = 4
  [../]
[]

四、MOOSE常见代码

MOOSE的内核AD开头的是自动计算微分，如果选用AD类型，那么模型所用的所有模块都要调用AD开头的。

1、常见内置变量

_u,_grad_u 被操作变量的值和梯度。
_test,_grad_test 值()的测试函数和梯度
_i 测试功能组件的当前索引。
_q_point 当前节点的坐标。
_qp 当前节点索引。

2、InputParameters

“InputParameters”是一个C++类模板，声明和填充所有的参数，InputParameters 对象是一组参数，每个参数都有单独的属性，可用于精细控制底层对象的行为。例如，参数可以标记为必需或可选，提供或不提供默认值。输入参数的完整属性列表（InputParameters）。
每个类里包含的InputParameters都是使用静态方法validParams创建的,使用InputParameters方法创建一个名为Object的Kernel，其定义了两个参数，一个带有默认值1980的int类型的可选参数year和类型为int的必选参数month，以及相应的参数描述。

#include "Object.h"
//创建的所有基于MOOSE的对象类都必须使用这个宏把要创建的类在app内注册
//第一个参数是带有"App"后缀应用程序名称。 
//第二个参数是创建的c++类的名称。  
registerMooseObject("MOOSEApp", Object);
InputParameters
Object::validParams()
{
  InputParameters params = Kernel::validParams();  //从父类开始
  params.addParam<int>("year", 1980, "Provide the year you were born.")
  params.addRequiredParam<int>("month", "Provide the month you were born.")
  return params;
}

输入文件的Kernel层

[Kernel]
  [date_object]
    type  =  Object	#使用已经在app内注册的Kernel
    year  =  2000	#此为选填参数，不填就用默认值1980
    month =  6		#此为必选参数，不填程序报错
  []
[]

3、computeQpResidual

这个函数会出现在每个Kernel的末尾，用来计算残差。最好去看官网说明，说的比较清楚。

父类	覆盖	用法
	computeQpResidual	当PDE中的项同时乘以测试函数和测试函数的梯度时使用（_test和_grad_test必须使用）
	precomputeQpResidual	当PDE中计算的项仅乘以测试函数时使用（不用写_test参数，会自动应用）
	precomputeQpResidual	当PDE中计算的项仅乘以测试函数的梯度时使用（不用写_grad_test参数，会自动应用）

使用实例对于弱形式:
MOOSE平台官方第二个例子分析——关于创建Kernel，求解对流扩散方程
仅用到了测试函数的梯度，所以计算残差要继承KernelGrad或ADKernelGrad的precomputeQpResidual ，代码形式：

#pragma once
//调用ADKernelGrad基类
#include "ADKernelGrad.h"
//继承
class DarcyPressure : public ADKernelGrad
{
public:
  static InputParameters validParams();

  DarcyPressure(const InputParameters & parameters);

protected:
  /// 静态函数，必须重载
  virtual ADRealVectorValue precomputeQpResidual() override;

  ///变量的值
  const Real _permeability;
  const Real _viscosity;
};

//源文件计算残差，不用写_grad_test参数，会自动应用
ADRealVectorValue
DarcyPressure::precomputeQpResidual()
{
  return (_permeability / _viscosity) * _grad_u[_qp];//这里的u就是求解变量p
}

4、

参考资料

MOOSE平台官方第二个例子分析——关于创建Kernel，求解对流扩散方程、Gockenbach M S . Understanding and Implementing the Finite Element Method[M]. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2006.
、https://mooseframework.inl.gov/

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MOOSE平台官方第二个例子分析——关于创建Kernel，求解对流扩散方程

一、例子介绍

二、FEM

1、生成弱形式

a.等式两侧同时乘测试函数

b.对整个求解域积分

c.分部积分

d.应用散度定理

e.写成内积的形式

2、等参单元

3、高斯积分

三、输入文件

1、网格[mesh]

2、变量[Variables]

3、物理模块[Kernels]

4、边界条件[BCs]

5、求解方式[Executioner]

6、输出[Outputs]

7、ex02_oversample.i

四、MOOSE常见代码

1、常见内置变量

2、InputParameters

3、computeQpResidual

4、

参考资料

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