整个问题的公式是这样的：

其中 最小化的是cost funtion由下面部分进行详细定义 与车位置和control有关；约束解释：

1. 在任意的k从0,N是指N个离散step下
2. 是指从时间k的状态 当输入 时 即加速度和转向角度，变成的下一个状态的dynamical system
3. 在状态所占据的空间面积 和不安全的面积area为空集，即两者面积不相交
4. 是根据上述论文[24] 里每一个障碍物都有一个不确定的包围圈，对于障碍物i，其概率协方差为，预测占据面积概率大于 也和自身的状态所占据的空间为空集，即不相交

2.3 MILP and Optimization

在2.2里面我们已经把问题定义清楚了，但是还缺乏各个部分的详细公式，这个部分主要就是简化相关的步骤，给出更为详细版的约束，构建的成为的是NLP（非线性问题）主要是以下四个部分，和求解部分一起看，更简洁点

1. kinematic vehicle model
2. driveable area collision
3. traffic participnats’ collision
4. multiobjective cost function over soft constraints

然后把问题就转成了problem 3 (Receding horizon MILP)，虽然有点长：

问题不大，下面一个个解释一下

1. 在k从m,m+K是指K个离散step下，应该满足一下约束

2. 首先是常见的自行车模型 → 但实际上在后面说明了，求解时是直接看做质点 emmm ，所以呢大概是这样的：

3. 然后 因为是质点 如果不加约束的话 那 v_y 速度过大就是横着走了 当然是不行的，所以呢 加了一个限制，其中 为常数， 假设 也就是不考虑调头

   

   • 那为啥前面还写那么多自行车模型的 emmm 直接看后面这个部分，有没有前面铺垫丝毫不受影响

     因为还是需要非线性的部分的，是problem 2 会用非线性求解器求解，转成MILP是提前得到一个大致的初解！ 我悟了他的贡献点了

3-8 的约束全在加速度不能超过限制，速度不能超过限制，加加速度不能超限，就不过多解释了 emm 就是车都是有极限的 也不可能一脚油门 0.0001s就达到我们想要的300km/h的速度 这个意思

1. 正常道路的行驶，也就是自身不碰到路沿，其中 为左路沿，当然假设 ，其中d指的是车宽的，简单来讲虽然我们看做了一个质点，但是计算碰撞的时候 还是看做一个长方形，然后奔着最大的那个对角线去，

   

2. 这个公式有些稍稍难解释，我们回到刚刚的图五，我再copy进来

   然后我们障碍物占据的空间，因为有协方差（所以是subset）其中 是指椭圆的公式哈 就是咱高中学的那种

   

   然后我们要找到椭圆边框离车辆长方形最近的地方， 为 车辆中心点 x,y 以车身长方形外扩的部分size

   

   就是要满足，也就是说如果不在x范围内，他就一定不在y了，毕竟x是前后 如上图三坐标系

   

   然后 我们用大-M 法，去得到对应的混合整数约束，也就是当M无穷大时，公式18 可以转为 19

   

最后则是我们的最小化对象 cost funtion：

其中是包含两个的,，其中w是权重哈

• 去向目标点的进度 也就是离目标点距离，比如目标点x纵向距离，速度是否达到，还有就是距离reference path的横向偏移：
• 则是乘客舒适度由加速度和转角度平方来算，比如

但实际上 我们将其也转换到了MILP：

其实吧 和上面的是差不多的，只是不是平方了 是绝对值…

• 
• 后者则是仅加速度

至此，我们介绍完了… 终于求解用的是 K-step receding horizon 滚动时域？ 也就是连续求解 N-K个子问题；

整体步骤再梳理一下：

1. 构建完整问题，是一个非线性的问题
2. 通过简化某些部分 比如车的模型，一些约束，来将问题转化为混合整数优化问题，然后通过连续求解 N-K 个子问题，得到初解，送到非线性问题里去
3. 然后非线性求解器拿到初解，进行求解

！啊 我悟了… 所以主要贡献其实就是MILP的转换及求解，这么一看 妙啊… emmm

3. 实验及结果

当然实验部分就是证明：哎 我很快，哎 我的收敛率很高！

4. Conclusion

我看到了最后发现 哦吼related work原来在最后 hhhh！！！主要就是说明：哎 我们是第一个提出用混合整数优化问题作为NLP solver的warm-start的！

好的… 他承认了 yielding a comparable total runtime to our method 还是一个问题，主要是930ms 做不到真车实验吧… 不过应该是one cycle planning 一个周期的时间吧… 930ms真的还是太长了

碎碎念

1. 关于实验设备没有细说，已发邮件询问

   仔细看的时候；发现作者竟然都没提实验平台的硬件设置是怎样，就直接给出时间 作为TRO其实有点虎了… 一般对比时间都会给出实验平台的设备以便大家都进行大约的转化，就像学习领域说我在一个1030上训练2天，另一个说我只需要2小时，然后其实他是在一个3090上只需要2小时 hhh

2. 时间对于planning这任务来说还是太长了，假设仅计算的一个周期，仅考虑planning的计算时间

   给ab发这篇文章后，ab直接质问 这930ms的Planning耗时，搁谁谁能受得了 hhh，然后问了问实车正常 CPU i7-8700 16G内存，是得控制在100-300ms的响应时间的

   再比如，jg做的GPIR 整体的运算周期也是在 10-100ms之间的

赠人点赞 手有余香 😆；正向回馈 才能更好开放记录 hhh