2.4 关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系的运算来表达查询。
运算的三大要素：
1.运算对象
2.运算符
3.运算结果
关系代数的运算对象是关系，运算结果也为关系。
关系代数用到的运算符包括两类：
1.集合运算符
2.专门的关系运算符
关系代数的运算按运算符的不同可以分为：
1.传统的集合运算：
传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算是从关系的“水平”方向进行，即行的角度来进行。
2.专门的关系运算：
专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列。使用比较运算符和逻辑运算符来辅助专门的关系运算符进行操作。
2.4.1 传统的集合运算
传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、笛卡尔积4种运算。
设关系R和关系S具有相同的目n，即两个关系都有n个属性，且相应的属性取自同一个域，t是元组变量，t∈R表示t是R的一个元组。
- 相容性：
两个关系具有相同的目。
两个关系相应的属性取自同一个域。
1. 并(基本运算)
关系R与关系S的并记作，R∪S = { t | t∈R ∨ t∈S } ，其结果仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。
并为行的并，所有行合成一个表，除去重复的。
2. 差(基本运算)
关系R与关系S的差记作，R-S ={ t | t∈R ∧ t∉S } ，其结果仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成。
3. 交(非基本运算)
关系R与关系S的交记作，R∩S ={ t | t∈R ∧ t∈S } ，其结果关系仍为n目关系，由 既 属于R 又 属于S的元组组成。关系的交可以用差来表示，即 R∩S = R – (R-S)。
4. 笛卡尔积(基本运算)
两个分别为n目和m目的关系R和S的笛卡尔积是一个 （n+m）列 的元组的集合（不具有相容性）。元组的前n列为关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。
若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和关系S的笛卡尔积有 k1 * k2个元组 。记作
2.4.2 专门的关系运算
专门的关系运算包括选择、投影、连接、除运算等
引入记号：
-
设关系模式为R(A1，A2，…，An)，它的一个关系设为R。t∈R表示 t 是R的一个元组。t[Ai] 则表示元组 t 中相应于属性 Ai 的一个分量。即为元组中一个属性的值。
-
若A = { Ai1，Ai2，…，Aik }，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则称A为属性列或属性组。t[Ai] = ( t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik] )表示元组 t 在属性列A上诸分量的集合。
即对关系R和关系S的属性进行拼接
设有一个学生-课程的数据库，包括学生关系Student，课程关系Course，选修关系SC，后面的多个例子将会对这三个关系进行运算。
1. 选择(基本运算)
选择又称限制。它是在关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作：
其中F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。
逻辑表达式F的基本形式为：X1 θ Y1 ，其中 θ 表示比较运算符，X1，Y1等是属性名，或为常量，或为简单函数，属性名可以使用属性的序号来代替。在基本选择的条件上可以进一步进行逻辑运算。
选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，这是从行的角度进行的运算。
例题1：查询信息系(IS系)的全体学生
例题2：查询年龄小于20岁的学生
2. 投影(基本运算)
关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。记作：
其中A为R中的属性列。
投影操作是从列的角度进行的运算。
例题1：查询学生的姓名和所在系，即求 Student 关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影。
如果选择多个属性，多个属性之间使用逗号进行分隔
投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组，因为取消了某些属性列之后，就可能出现重复行，应该取消这些完全相同的行。
例题2：查询学生关系Student中都有哪些系，即查询关系 Student 上所在系属性上的投影。
结果如图所示。Student关系原来有4个元组，而投影结果取消了重复的CS元组，因此只有三个元组。
3. 连接(非基本运算)
连接也称为 θ 连接。
连接是从两个关系的笛卡儿积中选取属性间满足一定条件的元组。记作：
其中，A和B分别为R和S上列数相等且可比的属性组，θ 是比较运算符。
连接运算从R和S的笛卡儿积 R X S 中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系 θ 的元组。
连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，
- 等值连接
- 自然连接
θ 为“=” 的连接运算称为 等值连接 。它是从关系R与S的广义笛卡儿积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：
自然连接是一种特殊的等值连接。它要求两个关系中进行比较的分量必须是同名的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。即若R和S中具有相同的属性组B，U为R和S的全体属性的集合，则自然连接可记作：
一般的连接操作是从行的角度进行运算，但自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。
例题：
在进行连接时，被舍弃的元组(即没有在结果中的元组)称为悬浮元组。
如果把悬浮元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值（NULL），那么这种连接就叫做外连接，记作
注意符号两边有小突出
如果只保留左边关系R中的悬浮元组就叫做左外连接，记作
注意只有左边有小突出
如果只保留右边关系S中的悬浮元组就叫做右外连接，记作
注意只有右边有小突出
在图2.8中，图(a)是图2.7中的关系R和关系S的外连接，图(b)是左外连接，图©是右外连接。
图2.7中的关系R和关系S
图2.8
4. 除运算(非基本运算)
设关系R除以关系S的结果为关系T，则T包含所有在R但不在S中的属性及其值，且T的元组与S的元组的所有组合都在R中。
下面用象集来定义除法：
给定关系R(X，Y)和S(Y，Z)，其中X、Y、Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：
元组在X上分量值 x 的象集Y 包含 S在Y上投影的集合。记作
其中Yx为 x 在R中的象集，x = tr[X]。
除操作是同时从行和列角度进行运算。
例题1：
例题2：
使用除运算的场景：“查询…全部 / 所有的…”的问题。如，“查询选修了所有课程的学生的学号”。
注意，要与“查询全部 / 所有的…”进行区分，如，“查询所有信息系的学生”。
2.4.3 小结
本节介绍了8种关系代数运算，其中并、差、笛卡儿积、选择和投影这5种运算为基本的运算。其他三种运算，即交、连接和除，均可以用这5种基本运算来表达。
关系代数中，这些运算经有限次复合后形成的表达式称为关系代数表达式。
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