一、树型结构
1、概念
树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树,是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:
- 有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点;
- 除根结点外,其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继;
- 树是递归定义的。
注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构
2、概念(重要)
结点的度:一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的度为6 树的度:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为6 叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶结点 双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点 孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点 根结点:一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图:A 结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推 树的高度或深度:树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4树的以下概念只需了解:
非终端结点或分支结点:度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支结点 兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点 堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点 结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先 子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙 森林:由m(m>=0)棵互不相交的树组成的集合称为森林
3、树的表示形式(了解)
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,如:双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
4、树的应用
文件系统管理(目录和文件):
二、二叉树(重点)
1、概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:- 或者为空
- 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
2、两种特殊的二叉树
1、满二叉树: 一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵二叉树的层数为K,且结点总数是 2^k – 1,则它就是满二叉树。 2、完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n 个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从 0 至n-1 的结点一 一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
3、二叉树的性质
1. 若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i – 1) (i>0)个结点 2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k – 1 (k>=0) 3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0=n2+1 4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log(n+1) (以2为底)上取整 5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为 i 的结点有:- 若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点
- 若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子
- 若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子
下面是几个例题:
1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( ) A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199 2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( ) A n B n+1 C n-1 D n/2 3.一个具有767个节点的完全二叉树,其叶子节点个数为() A 383 B 384 C 385 D 386 4.一棵完全二叉树的节点数为531个,那么这棵树的高度为( ) A 11 B 10 C 8 D 12答案: 1.B 2.A 3.B 4.B
4、二叉树的存储
二叉树的存储结构分为:顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的,常见的表示方式有二叉和三叉表示方式,具体如下:// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}
下面采用孩子表示法来构建二叉树。5、二叉树的基本操作
5.1 前置说明
在学习二叉树的基本操作前,需先要创建一棵二叉树,然后才能学习其相关的基本操作。此处先手动快速创建一棵简单的二叉树,快速进入二叉树操作学习,这里并不是二叉树真正的创建方式。public class BinaryTree {
static class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode CreateTree () {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A; //返回根节点
}
}
注意:上述代码并不是创建二叉树的方式。再看二叉树基本操作前,再回顾下二叉树的概念,二叉树是: 1. 空树 2. 非空:根节点,根节点的左子树、根节点的右子树组成的从概念中可以看出,二叉树定义是递归式的,因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
5.2 二叉树的遍历
1. 前中后序遍历
学习二叉树结构,最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线,依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如:打印节点内容、节点内容加 1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一,是二叉树上进行其它运算之基础。在遍历二叉树时,如果没有进行某种约定,每个人都按照自己的方式遍历,得出的结果就比较混乱,如果按照某种规则进行约定,则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点,L代表根节点的左子树,R代表根节点的右子树,则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式:
- NLR:前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
- LNR:中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
- LRN:后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
下面分别是递归方法和非递归方法实现前中后序遍历。
递归方法:
//先序遍历
public void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
//中序遍历
public void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
//后序遍历
public void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}
非递归方法:
//非递归方法先序遍历
public void preOrderNor(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
System.out.print(cur.val+" ");
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
cur = top.right;
}
}
//非递归方法中序遍历
public void inOrderNor(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while (cur != null||!stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
System.out.print(top.val+" ");
cur = top.right;
}
}
//非递归方法后序遍历
public void postOrderNor(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
TreeNode prev=null;
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while (cur != null||!stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.peek();
if (top.right==null || top.right==prev) {
System.out.print(top.val+" ");
stack.pop();
prev = top;
}else {
cur = top.right;
}
}
}
下面用图来主要分析前序递归遍历,中序与后序图解类似。
该二叉树的:
- 前序遍历结果:1 2 3 4 5 6
- 中序遍历结果:3 2 1 5 4 6
- 后序遍历结果:3 2 5 6 4 1
2. 层序遍历
层序遍历:除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外,还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
下面是一些相关例题:
1.某完全二叉树按层次输出(同一层从左到右)的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为() A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA 2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下:先序遍历:EFHIGJK;中序遍历:HFIEJKG.则二叉树根结点为() A: E B: F C: G D: H 3.设一课二叉树的中序遍历序列:badce,后序遍历序列:bdeca,则二叉树前序遍历序列为() A: adbce B: decab C: debac D: abcde 4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同,均为 ABCDEF ,则按层次输出(同一层从左到右)的序列为() A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF 【答案】 1.A 2.A 3.D 4.A
5.3 二叉树的基本操作
// 获取树中节点的个数 int size(Node root); // 获取叶子节点的个数 int getLeafNodeCount(Node root); // 子问题思路–求叶子结点个数 // 获取第K层节点的个数 int getKLevelNodeCount(Node root,int k); // 获取二叉树的高度 int getHeight(Node root); // 检测值为value的元素是否存在 Node find(Node root, int val); //层序遍历 void levelOrder(Node root); // 判断一棵树是不是完全二叉树 boolean isCompleteTree(Node root);
下面是这些基本操作的具体实现代码:
//统计树的节点个数
public int size(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
return size(root.left)+size(root.right) +1;
}
public int leafNoteSize;
//获取叶子结点的个数
//遍历方法
public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (root.left==null&&root.right==null) {
leafNoteSize++;
}
getLeafNodeCount(root.left);
getLeafNodeCount(root.right);
return leafNoteSize;
}
//子问题方法求叶子结点个数
public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (root.left==null&&root.right==null) {
return 1;
}
return getLeafNodeCount2(root.left)+getLeafNodeCount2(root.right);
}
//获取二叉树的第k层节点个数
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
if (root == null||k == 0) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}
// 获取二叉树的高度
public int getHeight(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeight = getHeight(root.right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1:rightHeight+1;
}
// 检测值为value的元素是否存在
public TreeNode find(TreeNode root, int val) {
if (root == null) {
return null;
}
if (root.val == val) {
return root;
}
TreeNode leftNode = find(root.left,val);
if (leftNode != null) {
return leftNode;
}
TreeNode rightNode = find(root.right,val);
if (rightNode != null) {
return rightNode;
}
return null;
}
//二叉树层序遍历
void levelOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root); //先存在队列里
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.poll();
System.out.print(cur.val+" ");
if (cur.left != null) {
queue.offer(cur.left);
}
if (cur.right != null) {
queue.offer(cur.right);
}
}
}
//判断是否为完全二叉树
boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
if (root == null) {
return false;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()){
TreeNode cur = queue.poll();
if (cur!=null) {
queue.offer(cur.left);
queue.offer(cur.right);
}else {
break;
}
}
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur1 = queue.poll();
if (cur1 == null) {
queue.poll();
}else {
return false;
}
}
return true;
}
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