C++ 算法高精度（较详细.）

概念

在我们进行计算的过程中，经常会遇到几十位，甚至几百位的数字的计算问题，也有可能会遇到小数点后几十位，几百位的情况，而我们面对这样的情况下， $long$ $long$ 和 $double$ 的数据范围显然是不够使用的了。因此这时，我们就需要引入一个新的算法，叫做高精度算法 .

我们可以利用程序设计的方法去实现这样的高精度计算 . 介绍常用的几种高精度计算的方法 .

思想

高精度算法本质上是用字符串模拟数字进行计算，再利用类似于数学里的竖式的形式，一位一位进行相关计算 .

处理

高精度计算中需要处理好以下几个问题：

1）数据的接收方法和存储方法

数据的接收和存储：当输入的数很长时，可采用字符串方式输入，这样可输入位数很长的数，利用字符串函数和操作运算，将每一位取出，存入数组中 .

void init(int a[]) { // 传入数组
    string s;
    cin >> s; 
    len = s.length(); // s.length --> 计算字符串位数
    for(int i=1; i<=len; i++)     
        a[i] = s[len -i] - '0'; //将字符串s转换为数组a, 倒序存储
}

2）进位、借位的处理.

// 加法进位: c[i] = a[i] + b[i]

code:    if(c[i] >= 10) {
            c[i] %= 10;
            ++c[i++];
         }

//减法借位: c[i] = a[i] - b[i]

code:    if(a[i] < b[i]) {
             --a[i+1];
             a[i] += 10;   
         } 

//乘法进位: c[i + j - 1] = a[i] * b[j] + x + c[i + j - 1];
          x = c[i + j - 1] / 10;
          c[i + j - 1] % 10;

高精度加法 +

输入两个数到变量中，然后用赋值语句求它们的和后输出 . But，我们知道，在 C++ 语言中任何数据类型都有一定表示范围. 当两个加数很大时，以前的算法显然不能求出精确解，因此我们需要寻求另一种方法 .在读小学时，我们做加法都采用竖式方法 . 这样我们方便写出两个整数相加的算法 .

如果我们用数组 $a, b$ 分别储存两个加数，用数组 $c$ 储存结果。则上例有 : $a[1] = 6, a[2] = 5,b[1] = 5, b[3] = 2, c[1] = c[2] = c[3] = c[4] = 1 ...$

#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

int main() {
    char a1[5005], b1[5005]; //用字符存储数字
    int a[5005], b[5005], c[5005]; //c[i] 用来储存每位相加的结果
    int len_a, len_b, len_c = 1, x, i;

    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(b, 0, sizeof(b));
    memset(c, 0, sizeof(c));

    scanf("%s%s", a1, b1); //输入两个加数

    len_a = strlen(a1);
    len_b = strlen(b1);

    for(i=0; i<len_a; i++) a[len_a - i] = a1[i] - '0'; // 将加数放进a数组
    for(i=0; i<len_b; i++) b[len_b - i] = b1[i] - '0'; // 将另一个加数放进b数组

    x = 0; // x为进位
    while(len_c <= len_a || len_c <= len_b) {
        c[len_c] = a[len_c] + b[len_c] + x; // 两数相加，再加上前两个数进位的
        x = c[len_c] / 10; // 刷新进位
        c[len_c] %= 10; // 进位后剩下的
        len_c++; //位数加1
    }
    c[len_c] = x;
    if(c[len_c] == 0) { //判断首位是否为0
        len_c--; // 不输出此位
    }

    for(int i=len_c; i>=1; i--) {
        printf("%d", c[i]); //输出每一位的数
    }

    return 0;
}

高精度减法 –

类似加法，同样使用竖式。在做减法运算时，需要注意的是：需要有借位处理。

#include <iostream>
#include <cstring>

int main() {
    int a[5005], b[5005], c[5005];
    int lena, lenb, lenc, i;
    char n[5005], n1[5005], n2[5005];

    std::memset(a, 0, sizeof(a));
    std::memset(b, 0, sizeof(b));
    std::memset(c, 0, sizeof(c));

    std::cin >> n1 >> n2; //输入被减数和减数

    lena = std::strlen(n1);
    lenb = std::strlen(n2);

    for(i=0; i<lena; i++) a[lena - i] = (int)n1[i] - '0';
    for(i=0; i<lenb; i++) b[lenb - i] = (int)n2[i] - '0'; //逆序存放排列

    i = 1;
    while(i <= lena || i <= lenb) {
        if(a[i] < b[i]) {
            c[i] = a[i] + 10 - b[i];
            a[i+1]--; //借位处理
        }
        else {
            c[i] = a[i] - b[i]; 
        }
        i++;
    }

    lenc = i;
    while(c[lenc] == 0 && lenc > 1) { //如果最后一位是0，是需要输出的
        lenc--;   // 不输出首位0
    }

    for(i=lenc; i>=1; i--) std::cout << c[i];

    return 0;
}

高精度乘法 ×

类似加法，使用竖式。在做乘法时，同样也有进位。

分析 $c$ 数组的下标变化规律，可以写出以下关系式: $c_{i} = c_{i'} + c_{i''} + ...$

由此可见， $c_{i}$ 跟 $a[i] \times b[j]$ 乘积有关，跟上次的进位有关，跟还原 $c_{i}$ 的值有关，分析下标规律，有 :

$c[i + j - 1] = a[i] + b[j] + x + c[i + j - 1]$

#include <iostream>
#include <cstring>

int main() {
	int a[105], b[105], c[10005];
	char n1[105], n2[105], lena, lenb, lenc, j, i, x;

	std::memset(a, 0, sizeof(a));
	std::memset(b, 0, sizeof(b));
	std::memset(c, 0, sizeof(c));
	
	std::cin >> n1 >> n2;
	
	lena = std::strlen(n1);
	lenb = std::strlen(n2);
	
	for(i=0; i<=lena-1; i++) a[lena - i] = n1[i] - 48; 
	for(i=0; i<=lenb-1; i++) b[lenb - i] = n2[i] - 48; // 倒序储存
	
	for(i=1; i<=lena; i++) {
		x = 0;
		for(j=1; j<=lenb; j++) {
			c[i + j - 1] = c[i + j - 1] + x + a[i] * b[j];
			x = c[i + j - 1] / 10; // 进位
			c[i + j - 1] %= 10; // 剩余
		}
		c[i + lenb] = x; // 进位的数
	}
	
	lenc = lena + lenb;
	while(c[lenc] == 0 && lenc > 1) {
		lenc--; // 删除前导0
	}
	
	for(i=lenc; i>=1; i--) {
		std::cout << c[i];
	}  // 输出每一位
	   
    std::cout << std::endl;
	
	return 0;
}

除法 ÷

1）高精除以低精

做除法时，每一次的商值都在 0~9 之间，每次求得的余数连接以后的若干位得到新的被除数，继续做除法。因此，在做高精度除法时，要涉及到乘法运算和减法运算，还有移位处理。当然，为了程序简洁，可以避免高精度乘法，用 0~9 次循环减法取代得到商的值。采用按位相除法。

#include <iostream>

int main(){
    char n1[100];
    int a[100], c[100], lena, i, x = 0, lenc, b;
    
    std::memset(a, 0, sizeof(a));
    std::memset(c, 0, sizeof(c));
    
    std::cin >> n1 >> b;  
    lena = strlen(n1);

    for(i=1; i<=lena; i++) {
        a[i] = n1[i - 1] - '0'; //除法不需要逆序存放
    }

//-------------------------初始化------------------------------

    for(i=1; i<=lena; i++) {
        c[i] = (a[i] + x * 10) / b;  // 算上上一位剩下的继续除
        x = (a[i] + 10 * x) % b; // 求余
    }

    lenc = 1;
    while(c[lenc] == 0 && lenc < lena) {
        lenc++;
    }

    for(i=lenc; i<lena; i++) std::cout << c[i];

    return 0;
}

2）高精除以高精

高精除以低精是对被除数的每一位（这里的”一位”包含前面的余数，以下都是如此）都除以除数，而高精除以高精则使用减法模拟除法，对被除数的每一位都减去除数，一直减到当前位置的数字（包含前面的余数）小于除数（由于每一位的数字小于10，所以对每一位最多进行10次运算），代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

int a[50005], b[50005], c[50005], d;

void init(int a[]) {
	char s[50005];
	cin >> s;
	a[0] = strlen(s);		// 字符串存储，表示位数	
	for (int i=1; i<=a[0]; i++) {
		a[i] = s[a[0]-i] - 48;	// 正序储存
	} 	
}

void print(int a[]) {			
	if (a[0] == 0) {
		cout << 0 << endl;
		return;  // 位数为0，输出0
	}
	for (int i=a[0]; i>=1; i--) {
		cout << a[i];  // 输出函数
	}
	cout << endl;
	return;
} 

int compare(int a[], int b[]) {	
	if (a[0] > b[0]) {
		return 1; // 被减数大于减数
	} 
	if (a[0] < b[0]) {
		return -1; // 被减数小于减数
	}
	for (int i=a[0]; i>=1; i--) {	
		if (a[i] > b[i]) {
			return 1;
		} 
		if (a[i] < b[i]) {
			return -1;
		}   // 位数相同，找到第一位不同的进行比较
	} 
	return 0;					
}

void numcpy(int p[], int q[], int det) {
	for (int i=1; i<=p[0]; i++) {
		q[i+det-1] = p[i]; //复制p数组到q数组从det开始的地方
	}
	q[0] = p[0] + det - 1;
}

void jian(int a[], int b[]) {		
	int flag = compare(a, b);		 
	if (flag == 0)  {					
		a[0] = 0;
		return;
	}
	if (flag == 1) {				
		for (int i=1; i<=a[0]; i++) {
			if (a[i] < b[i]) {			 
				a[i+1]--;			
				a[i] += 10;
			}
			a[i] -= b[i];
		}
		while (a[0]>0 && a[a[0]]==0) {
			a[0]--;					
		} 
		return; 
	}				 
}  // 高精减法

void chugao(int a[], int b[], int c[]) {
	int tmp[50005];
	c[0] = a[0] - b[0] + 1;
	for (int i=c[0]; i>0; i--) {
		memset(tmp, 0, sizeof(tmp));	
		numcpy(b, tmp, i);// 清零
		while (compare(a, tmp) >= 0) {
			c[i]++;
			jian(a, tmp);	// 用减法模拟		
		} 
	}
	while (c[0] > 0 && c[c[0]] == 0) {
		c[0]--;
	}
	return;
}

int main() {
	memset(a, 0, sizeof(a));
	memset(b, 0, sizeof(b));
	memset(c, 0, sizeof(c));
	
	init(a);
	init(b);
	chugao(a,b,c);
	print(c);	
	
	return 0;
}

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