C++前缀和算法的应用：DI序列的有效排列的原理、源码及测试用例

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频

题目

给定一个长度为 n 的字符串 s ，其中 s[i] 是:
“D” 意味着减少，或者
“I” 意味着增加
有效排列是对有 n + 1 个在 [0, n] 范围内的整数的一个排列 perm ，使得对所有的 i：
如果 s[i] == ‘D’，那么 perm[i] > perm[i+1]，以及；
如果 s[i] == ‘I’，那么 perm[i] < perm[i+1]。
返回有效排列 perm的数量。因为答案可能很大，所以请返回你的答案对 109 + 7 取余。
示例 1：
输入：s = “DID”
输出：5
解释：
(0, 1, 2, 3) 的五个有效排列是：
(1, 0, 3, 2)
(2, 0, 3, 1)
(2, 1, 3, 0)
(3, 0, 2, 1)
(3, 1, 2, 0)
示例 2:
输入: s = “D”
输出: 1

分析

用动态规划解决，时间复杂度O(nnn)。用strRes表示结果串，用n表示它的长度，每个数字的取值范围[0,n)。dp[i][j]，表示前i+1个数已经处理，未处理的数中共有j个数大于strRes[i]。状态数共有n*n个，状态转换的时间复杂是O(n)。以上升为例：只需要考虑j个比strRes[i]数，选择最小的数，则jNew=j-1；选择次小的数， jNew=j-2…。下降类似，小于strRes[i]的数，可以计算出来：总数-已经处理的数-未处理的数中大于res[i]=n-(i+1)-j。注意：各位数各不相等，所以已经处理的数（如：res[i])是不会在出现的，所以未处理的数，需要考虑大于和小于，不需要考虑等于。

代码

template
class C1097Int
{
public:
C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
{
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = (m_iData + MOD – o.m_iData) % MOD;
return this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int((m_iData + MOD – o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator(const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(long long n)const
{
C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD – 2);
}
int ToInt()const
{
return m_iData;
}
private:
int m_iData = 0;;
};

template
int operator+(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}

template
int& operator+=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}

template
int operator*(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator*(C1097Int<>(iData)).ToInt();
return iRet;
}

template
int& operator*=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator*(C1097Int<>(iData)).ToInt();
return iData;
}

class Solution {
public:
	int numPermsDISequence(string s) {
		//n：结果串的长度 每个数字的取值范围[0,n)
		int n = s.length() + 1;
		vector<C1097Int<>> pre(n);//记录有多少个数大于当前数
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			pre[n - i -1] += 1;
		}
		for (int i = 0; i < s.length(); i++)
		{
			vector<C1097Int<>> dp(n );
			if ('I' == s[i])
			{
				for (int iMore = 1; iMore < n; iMore++)
				{
					for (int j = 0; j < iMore; j++)
					{
						dp[iMore - j - 1] += pre[iMore];
					}
				}
			}
			else
			{
				for (int iMore = 0; iMore < n; iMore++)
				{
					const int less = n - (i + 1) - iMore;
					if (less < 1)
					{
						break;
					}
					for (int j = 0; j < less; j++)
					{
						const int iNewLess = less - j - 1;
						const int iNewMore = n - (i + 1 + 1) - iNewLess;
						dp[iNewMore] += pre[iMore];
					}
				}
			}
			pre.swap(dp);
		}
		auto bi = std::accumulate(pre.begin(), pre.end(), C1097Int<>(0));
		return bi.ToInt();
	}
};

测试用例

int main()
{
int res = Solution().numPermsDISequence(“”);
Assert(1, res);
res = Solution().numPermsDISequence(“I”);
Assert(1, res);
res = Solution().numPermsDISequence(“D”);
Assert(1, res);
res = Solution().numPermsDISequence(“II”);
Assert(1, res);
res = Solution().numPermsDISequence(“ID”);
Assert(2, res);
res = Solution().numPermsDISequence(“DD”);
Assert(1, res);
res = Solution().numPermsDISequence(“DI”);
Assert(2, res);
res = Solution().numPermsDISequence(“DID”);
Assert(5, res);
res = Solution().numPermsDISequence(“IDD”);
Assert(3, res);
res = Solution().numPermsDISequence(“DDI”);
Assert(3, res);
res = Solution().numPermsDISequence(“DII”);
Assert(3, res);
res = Solution().numPermsDISequence(“IDI”);
Assert(5, res);
res = Solution().numPermsDISequence(“IID”);
Assert(3, res);
//CConsole::Out(res);
}

优化

可以利用前缀和，将时间复杂度降到O(n*n)。

iMore取[1,…]中任意数，选择最大的数，则jNew都等于0
iMore取[2,…]中任意数，选择次大的数，则jNew都等于1
iMore取[3,…] 中任意数，选择第三大的数，则jNew都等于2
…
结论:
dp[0] = sum(pre[1]…pre[n-1])
dp[1] = sum(pre[2]…pre[n-1])
dp[2] = sum(pre[3]…pre[n-1])
…

代码

class Solution {
public:
	int numPermsDISequence(string s) {
		//n：结果串的长度 每个数字的取值范围[0,n)
		int n = s.length() + 1;
		vector<C1097Int<>> pre(n);//记录有多少个数大于当前数
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			pre[n - i -1] += 1;
		}
		for (int i = 0; i < s.length(); i++)
		{
			vector<C1097Int<>> dp(n );
			if ('I' == s[i])
			{
				C1097Int<> biSum = 0;
				for (int j = n-1; j > 0 ; j-- )
				{
					biSum += pre[j];
					dp[j-1] = biSum;
				}
			}
			else
			{
				C1097Int<> biSum = 0;
				for (int j = n - 1; j > 0; j--)
				{//j是小于strRes[i]的数目
					const int iMore = n - (i + 1) - j;
					if (iMore < 0)
					{
						continue;
					}
					const int iNewMore = n - (i + 1+1) - (j-1);
					biSum += pre[iMore];
					dp[iNewMore] = biSum;
				}
			}
			pre.swap(dp);
		}
		auto bi = std::accumulate(pre.begin(), pre.end(), C1097Int<>(0));
		return bi.ToInt();
	}
};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快

速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开发环境：

VS2022 C++17

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