【数据结构与算法】图的深度优先和广度优先遍历

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🍎🍎图的基本介绍🍎🍎

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。

🍉🍉图的常用概念🍉🍉

1)顶点(vertex)
2) 边(edge)
3) 路径
4) 无向图
5) 有向图
6) 带权图

无向图如下:

有向图和带权图如下:

🍒🍒图的表示方式🍒🍒

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）

🍎🍎图的深度优先遍历🍎🍎

🍎🍎深度优先遍历基本思想🍎🍎

图的深度优先搜索(DepthFirstSearch)。

1. 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
2. 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
3. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

🍎🍎深度优先遍历算法步骤🍎🍎

1. 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
2. 查找结点v的第一个邻接结点w。
3. 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
4. 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
5. 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

🍎🍎深度优先算法代码实现🍎🍎

/**
     * 深度优先遍历
     * @param isVisited
     * @param i
     */
    public void dfs(boolean[] isVisited,int i){
        // 1.输出节点
        System.out.print(getVertex(i)  + "->");
        // 2.将该节点设置为已访问
        isVisited[i] = true;
        // 3.找到该节点下一个邻接节点的下标
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while (w != -1){ // 说明有下一个邻接节点
             if (!isVisited[w]){
                 // 如果该节点没有被访问
                 dfs(isVisited,w);
             }else {
                 // 如果该节点被访问过
                 w = getNextNeighbor(i,w);
             }
        }
    }

    /**
     * 方法重载，遍历所有节点，并进行dfs
     */
    public void dfs(){
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]){
                // 没有被访问过的节点
                dfs(isVisited,i);
            }
        }
    }

🍉🍉图的广度优先遍历🍉🍉

🍉🍉广度优先遍历基本思想🍉🍉

1. 图的广度优先搜索(BroadFirstSearch)。
2. 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

🍉🍉广度优先遍历算法步骤🍉🍉

1. 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2. 结点v入队列。
3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4. 出队列，取得队头结点top。
5. 查找结点top的第一个邻接结点next。
6. 若结点top的邻接结点next不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
   6.1若结点next尚未被访问，则访问结点next并标记为已访问。
   6.2结点next入队列
   6.3查找结点top的继next邻接结点后的下一个邻接结点next，转到步骤6。

🍉🍉广度优先算法代码实现🍉🍉

    /**
     * 对一个节点进行广度优先遍历
     */
    public void bfs(boolean[] isVisited,int i){
        int top; // 头节点下标
        int next; // 邻接节点下标
        // 1.输出该节点
        System.out.print(getVertex(i) + "->");
        // 2.将当前节点标志为已访问
        isVisited[i] = true;
        // 3.节点入队列
        Queue queue = new Queue(vertexList.size());
        queue.inQueue(i);
        // 4.遍历队列
        while (!queue.isEmpty()){
            // 4.1取出队头节点下标
              top = queue.outQueue();
            // 4.2得到第一个邻接节点的下标
              next = getFirstNeighbor(top);
              while (next != -1){
                  // 4.3找到了第一个邻接节点的下标
                  if (!isVisited[next]){
                      // 4.3.1没有被访问过，输出该节点
                      System.out.print(getVertex(next) + "->");
                      // 4.3.2将该节点标志为已访问
                      isVisited[next] = true;
                      // 4.3.3节点入队列
                      queue.inQueue(next);
                  }else {
                    // 4.4如果已经访问过了,得到下一个邻接节点的下标
                     next = getNextNeighbor(top,next); // 广度优先
                  }
              }

        }

    }

    /**
     * 方法重载，对所有节点进行广度优先遍历
     */
    public void bfs(){
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]){
                bfs(isVisited,i);
            }
        }
    }

🍒🍒图的属性和其他方法定义🍒🍒

public class Graph {
    private List<String> vertexList; // 存储顶点集合
    private int[][] edges;// 存储图对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges; // 表示边的数目
    private boolean[] isVisited; // 记录某个顶点是否被访问过

    /**
     * 构造器初始化
     * @param n
     */
    public Graph(int n) {
        this.vertexList = new ArrayList<>(n);
        this.edges = new int[n][n];
        this.isVisited = new boolean[n];
        this.numOfEdges = 0;
    }

    /**
     *
     * @param index
     * @return 得到第一个邻接节点的下标
     */
    public int getFirstNeighbor(int index){
        for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
            if (edges[index][i] > 0){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 根据前一个邻接节点下标找到下一个邻接节点
     * @param v1
     * @param v2
     * @return 找到了返回下标，否则返回 -1
     */
    public int getNextNeighbor(int v1,int v2){
        for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++) {
            if (edges[v1][i] > 0){
                return i;
            }
        }

        return -1;
    }



    /**
     *
     * @return 得到图中节点的个数
     */
    public int getNumOfVertex(){
       return vertexList.size();
    }

    /**
     *
     * @return 得到边的个数
     */
    public int getNumOfEdges(){
        return numOfEdges;
    }

    /**
     *
     * @param index 下标
     * @return 返回节点对应的值
     */
    public String getVertex(int index){
        return vertexList.get(index);
    }

    /**
     *
     * @param v1
     * @param v2
     * @return 返回v1和v2对应的权值
     */
    public int getWeight(int v1,int v2){
        return edges[v1][v2];
    }

    /**
     * 插入节点
     * @param vertex
     */
    public void insertVertex(String vertex){
       vertexList.add(vertex);
    }

    /**
     * 插入边
     * @param v1 点的下标
     * @param v2 点的下标
     * @param weight 权值
     */
    public void insertEdge(int v1,int v2,int weight){
        // 无向图，需要两边都存储
      edges[v1][v2] = weight;
      edges[v2][v1] = weight;
      numOfEdges++;// 边的数目增加
    }

    /**
     * 显示图对应的矩阵
     */
    public void showGraph(){
        for (int[] edge : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(edge));
        }
    }
}

🍒🍒队列🍒🍒

class Queue {
    private int maxSize; // 数组的最大容量
    private int front;// 队列头
    private int rear;// 队列尾
    private int[] arr;// 该数组用于存放数据, 模拟队列

    public Queue(int maxSize){// 初始化队列
        this.maxSize = maxSize;
        this.front = -1;// 指向队列头部
        this.rear = -1;// 指向队列尾部
        arr = new int[maxSize];// 初始化数组
    }

    /**
     * 判断队列是否已满
     * @return true 为满  false为未满
     */
    public boolean isFull(){
        return this.rear == this.maxSize - 1;
    }

    /**
     * 判断队列是否为空
     * @return  true为空  false已经有了数据
     */
    public boolean isEmpty(){
        return this.rear == this.front;
    }

    /**
     * 添加数据到队列中
     * @param n
     */
    public void inQueue(int n){
        // 1.判断队列是否已满
        if (isFull()){
            System.out.printf("队列已满,%d无法存入队列中\n",n);
            return;
        }
        this.rear++;
        this.arr[rear] = n;
    }

    /**
     * 出队列
     * @return
     */
    public int outQueue(){
        // 1.判断是否为空
        if (isEmpty()){
            throw new RuntimeException("队列为空,不能出队列");
        }
        this.front++;
        // 返回数据
        return this.arr[front];
    }

    /**
     * 显示队列所有数据
     */
    public void listQueue(){
        // 1.判断是否为空
        if (isEmpty()){
            throw new RuntimeException("队列为空");
        }
        System.out.println("--------队列数据显示-------");
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            System.out.printf("arr[%d]=%d\n",i,arr[i]);
        }
        System.out.println();
    }

    /**
     * 得到队头数据
     * @return
     */
    public int getHeadQueue(){
        // 1.判断是否为空
        if (isEmpty()){
            throw new RuntimeException("队列为空~~~");
        }
        // 2.返回
        return this.arr[this.front + 1];
    }
}

🎉🎉测试🎉🎉

    public static void main(String[] args) {
    // 初始化图和邻接矩阵
    Graph graph = new Graph(5);
    graph.insertVertex("A");
    graph.insertVertex("B");
    graph.insertVertex("C");
    graph.insertVertex("D");
    graph.insertVertex("E");
    graph.insertEdge(0,1,1);
    graph.insertEdge(0,2,1);
    graph.insertEdge(1,2,1);
    graph.insertEdge(1,3,1);
    graph.insertEdge(1,4,1);
        // 图的遍历
        graph.showGraph();

        // 深度优先遍历
        System.out.println("------------深度优先遍历");
        graph.dfs();

        // 广度优先遍历
        System.out.println("------------广度优先遍历");
        graph.bfs();

    }

结果:

[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
------------深度优先遍历
A->B->C->D->E->
------------广度优先遍历
A->B->C->D->E->