算法[动态规划]—买卖股票最佳时机

1、题目：

给你一个整数数组 prices，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持一股股票。你也可以先购买，然后在同一天出售。
返回你能获得的最大利润。

2、分析特点：

题目要求：在任何时候最多只能持一股股票 ==> 考虑到「不能同时参与多笔交易」，因此每天交易结束后只可能存在手里 有一支股票或者没有股票的状态 。
有和没有股票的状态 ==> 动态规划

定义状态dp[0] 表示第天交易完后手里没有股票的最大利润，d[1] 表示第天交易完后手里持有一支股票的最大利润(从0开始)。

考虑dp[i][0] 的转移方程，如果这一天交易完后手里没有股票，那么可能的转移状态为前一天已经没有股票，即 dp[i-1][0]，
或者前一天结束的时候手里持有一支股票，即 dp[i-1][1]，这时候我们要将其卖出，并获得 prices[i] 的收益。
因此为了收益最大化，我们列出如下的转移方程:

再来考虑dp[i][1]，按照同样的方式考虑转移状态，那么可能的转移状态为前一天已经持有一支股票，即 dp[i-1][1]，或者前一天结束时还没有股票，即 dp[i-1][0]，这时候我们要将其买入，并减少prices[i]的收益。可以列出如下的转移方程:

对于初始状态，根据状态定义我们可以知道第0天交易结束的时候 dp[0][0] =0，dp[0][1]=-prices0。
因此，我们只要从前往后依次计算状态即可。由于全部交易结束后，持有股票的收益一定低于不持有股票的收益，因此这时候 dp[n-1][0] 的收益必然是大于 dp[n-1][0] 的，最后的答案即为dp[n-1][0]。

3、特点：

本题动态规划法的思路解析：

因为，从最后一天往前看，分成四种情况：

A：前一天有股票，并卖出 – 剩余股票数0

B：前一天没有股票，并不买入 – 剩余股票数0

C：前一天有股票，并不买出 – 剩余股票数1

D：前一天没有股票，并买入 – 剩余股票数1

所以：

当剩余股票数0时，最大的利润是max(A, B)
当剩余股票数1时，最大的利润是max(C, D)

4、代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
        }
        return dp[n - 1][0];
    }
}

注意到上面的状态转移方程中，每一天的状态只与前一天的状态有关，而与更早的状态都无关，因此我们不必存储这些无关的状态，只需要将 dp[i-1][0]和dp[i-1][0] 存放在两个变量中，通过它们计算出dp[i][0] 和 dp[i][1] 并存回对应的变量，以便于第 i+1 天的状态转移即可。

4、复杂度分析：

时间复杂度：O(n)，其中 nnn 为数组的长度。一共有 2n 个状态，每次状态转移的时间复杂度为 O(1)，因此时间复杂度为 O(2n)=O(n)。

空间复杂度：O(n)。我们需要开辟 O(n) 空间存储动态规划中的所有状态。如果使用空间优化，空间复杂度可以优化至 O(1)。

5、总结：

本题动态规划法的思路解析---有股票和没股票结合买入卖出的情况考虑状态