【算法训练-数组 三】【数组矩阵】螺旋矩阵、旋转图像、搜索二维矩阵

废话不多说，喊一句号子鼓励自己：程序员永不失业，程序员走向架构！本篇Blog的主题是螺旋矩阵，使用【二维数组】这个基本的数据结构来实现

螺旋矩阵【EASY】

二维数组的结构特性入手

题干

解题思路

根据题目示例 matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] 的对应输出 [1,2,3,6,9,8,7,4,5] 可以发现，顺时针打印矩阵的顺序是 “从左向右、从上向下、从右向左、从下向上” 循环。

因此，考虑设定矩阵的 “左、上、右、下” 四个边界，模拟以上矩阵遍历顺序，算法流程：

1. 空值处理： 当 matrix 为空时，直接返回空列表 [] 即可。
2. 初始化： 矩阵 左、右、上、下 四个边界 l , r , t , b ，用于打印的结果列表 res 。
3. 循环打印： “从左向右、从上向下、从右向左、从下向上” 四个方向循环打印。
   • 根据边界打印，即将元素按顺序添加至列表 res 尾部。
   • 边界向内收缩 1 （代表已被打印）。
   • ** 判断边界是否相遇**（是否打印完毕），若打印完毕代表下一个方向无需打印，则跳出。
4. 返回值： 返回 res 即可。

整体的打印过程

代码实现

基本数据结构：数组
辅助数据结构：无
算法：无
技巧：无

import java.util.*;


public class Solution {
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     *
     *
     * @param matrix int整型二维数组
     * @return int整型ArrayList
     */
    public ArrayList<Integer> spiralOrder (int[][] matrix) {
        // 1 入参判断，如果为空数组，返回空集合
        if (matrix.length < 1) {
            return new ArrayList<Integer>();
        }

        // 2 定义四条边及返回值
        ArrayList<Integer> result = new ArrayList<Integer>();
        int left = 0;
        int right = matrix[0].length - 1;
        int top = 0;
        int bottom = matrix.length - 1;

        // 3 循环打印四条边
        while (true) {
            // 3-1 从左向右打印,明确左右边界，打印完后上边界向下移动,并判断是否有必要继续从上到下打印
            for (int i = left; i <= right; i++) {
                result.add(matrix[top][i]);
            }
            if (++top > bottom) {
                break;
            }

            // 3-2 从上向下打印,明确上下边界，打印完后右边界向左移动,并判断是否有必要继续从右到左打印
            for (int i = top; i <= bottom; i++) {
                result.add(matrix[i][right]);
            }
            if (left > --right) {
                break;
            }

            // 3-3 从右向左打印,明确左右边界，打印完后下边界向上移动,并判断是否有必要继续从下到上打印
            for (int i = right; i >= left; i--) {
                result.add(matrix[bottom][i]);
            }
            if (top > --bottom) {
                break;
            }

            // 3-4 从下向上打印,明确上下边界，打印完后左边界向右移动,并判断是否有必要继续从左到右打印
            for (int i = bottom; i >= top; i--) {
                result.add(matrix[i][left]);
            }
            if (++left > right) {
                break;
            }
        }

        return result;
    }
}

++top > bottom 等价于先给 top 自增 1 ，再判断++top > bottom 逻辑表达式

复杂度分析

• 时间复杂度 O(MN) ： M,N分别为矩阵行数和列数。
• 空间复杂度 O(1) ： 四个边界 l , r , t , b 使用常数大小的额外空间。

旋转图像

和螺旋矩阵类似，也是对一圈数值做处理

题干

解题思路

由原题知整体的旋转公式如下：

如果可以使用辅助矩阵则按如下方式修改即可：

class Solution {
    public void rotate(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        // 深拷贝 matrix -> tmp
        int[][] tmp = new int[n][];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            tmp[i] = matrix[i].clone();
        // 根据元素旋转公式，遍历修改原矩阵 matrix 的各元素
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                matrix[j][n - 1 - i] = tmp[i][j];
            }
        }
    }
}

考虑不借助辅助矩阵，通过在原矩阵中直接「原地修改」，实现空间复杂度 **O(1)**的解法。以位于矩阵四个角点的元素为例，设矩阵左上角元素 A 、右上角元素 B 、右下角元素 C 、左下角元素 D 。矩阵旋转 90º 后，相当于依次先后执行 D→A，C→D, B→C, A→B 修改元素，即如下「首尾相接」的元素旋转操作：

如上图所示，由于第 1 步 D→A已经将 A覆盖（导致 A 丢失），此丢失导致最后第 4步 A→B无法赋值。为解决此问题，考虑借助一个「辅助变量 tmp」预先存储 A ，此时的旋转操作变为：

将这些元素旋转完成即完成了整个数组的旋转

具体来看，当矩阵大小n为偶数时，行列均取前n/2，当矩阵大小为奇数时，行取n/2，列取（n+1）/2，因为为奇数时，中间的元素不需要旋转

代码实现

基本数据结构：数组
辅助数据结构：无
算法：无
技巧：无

class Solution {
    public void rotate(int[][] matrix) {
        // 1 获取数组长度，依据替换顺序位置matrix[i][j]->matrix[j][n-1-i]推导出ABCD位置
        int n = matrix.length;
        //int a=matrix[i][j];int b=matrix[j][n-1-i];int c=matrix[n-1-i][n-1-j];int d=matrix[n-1-j][i];

        // 2 遍历行列，行取n/2,列取（n+1）/2 为了应对奇数长度的n
        for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
            for (int j = 0; j < (n + 1) / 2; j++) {
                // 2-1 暂存A的位置，用来后续替换B
                int temp = matrix[i][j];
                // 2-2 D替换A
                matrix[i][j] = matrix[n - 1 - j][i];
                // 2-3 C替换D
                matrix[n - 1 - j][i] = matrix[n - 1 - i][n - 1 - j];
                // 2-4 B替换C
                matrix[n - 1 - i][n - 1 - j] = matrix[j][n - 1 - i];
                // 2-5 A替换B
                matrix[j][n - 1 - i] = temp;
            }
        }

    }
}

复杂度分析

时间复杂度 O(N*N）： 其中 N 为输入矩阵的行（列）数。需要将矩阵中每个元素旋转到新的位置，即对矩阵所有元素操作一次，使用O(N*N）的时间
空间复杂度 O(1) ： 临时变量 tmp使用常数大小的额外空间。值得注意，当循环中进入下轮迭代，上轮迭代初始化的 tmp占用的内存就会被自动释放，因此无累计使用空间。

搜索二维矩阵【MID】

从下题矩阵的特性入手进行查找

题干

解题思路

数组从左到右和从上到下都是升序的，如果从右上角出发开始遍历呢？会发现每次都是向左数字会变小，向下数字会变大，有点和二分查找树相似。二分查找树的话，是向左数字变小，向右数字变大。所以我们可以把 target 和当前值比较。

• 如果 target 的值大于当前值，那么就向下走。
• 如果 target 的值小于当前值，那么就向左走。
• 如果相等的话，直接返回 true 。

也可以换个角度思考

• 如果 target 的值大于当前值，也就意味着当前值所在的行肯定不会存在 target 了，可以把当前行去掉，从新的右上角的值开始遍历。
• 如果 target 的值小于当前值，也就意味着当前值所在的列肯定不会存在 target 了，可以把当前列去掉，从新的右上角的值开始遍历。

看下边的例子

[1,   4,  7, 11, 15],
[2,   5,  8, 12, 19],
[3,   6,  9, 16, 22],
[10, 13, 14, 17, 24],
[18, 21, 23, 26, 30]

如果 target  = 9，如果我们从 15 开始遍历, cur = 15
    
target < 15, 去掉当前列, cur = 11
[1,   4,  7, 11],
[2,   5,  8, 12],
[3,   6,  9, 16],
[10, 13, 14, 17],
[18, 21, 23, 26]    
    
target < 11, 去掉当前列, cur = 7  
[1,   4,  7],
[2,   5,  8],
[3,   6,  9],
[10, 13, 14],
[18, 21, 23]     

target > 7, 去掉当前行, cur = 8   
[2,   5,  8],
[3,   6,  9],
[10, 13, 14],
[18, 21, 23]       

target > 8, 去掉当前行, cur = 9, 遍历结束    
[3,   6,  9],
[10, 13, 14],
[18, 21, 23]   

代码实现

基本数据结构：数组
辅助数据结构：无
算法：无
技巧：无

import java.util.*;


public class Solution {
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     *
     *
     * @param target int整型
     * @param array int整型二维数组
     * @return bool布尔型
     */
    public boolean Find (int target, int[][] array) {
        // 1 入参判断
        if (array.length < 1) {
            return false;
        }
        // 2 定义行列边界,从右上角出发，所以初始化为右上角位置
        int right = array[0].length - 1;
        int top = 0;

        // 3 出发开始遍历,明确左右边界的范围
        while (right >= 0 && top <= array.length - 1) {
            int curValue = array[top][right];
            if (curValue > target) {
                // 3-1 如果当前值大于目标值，舍弃本列
                right--;
            } else if (curValue < target) {
                // 3-2 如果当前值小于目标值，舍弃本行
                top++;
            } else {
                // 3-3 如果当前值等于目标值，找到了目标值
                return true;
            }

        }
        return false;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度 O(M+N) ： 只遍历了一遍
• 空间复杂度 O(1) ：没有使用额外空间。

拓展知识：二维数组

二维数组是一种常见的数据结构，它由多行和多列组成，可以用来存储和处理二维数据集合，例如矩阵、表格、图像、地图等。在不同的编程语言中，定义和使用二维数组的方式可能有所不同，以下是一些常见编程语言中的示例。

C/C++:

// 定义一个3x3的整数二维数组
int matrix[3][3] = {
    {1, 2, 3},
    {4, 5, 6},
    {7, 8, 9}
};

// 访问元素
int element = matrix[1][2]; // 获取第二行第三列的元素，值为6

Python:

# 定义一个3x3的整数二维数组（使用嵌套列表）
matrix = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9]
]

# 访问元素
element = matrix[1][2] # 获取第二行第三列的元素，值为6

Java:

// 定义一个3x3的整数二维数组
int[][] matrix = {
    {1, 2, 3},
    {4, 5, 6},
    {7, 8, 9}
};

// 访问元素
int element = matrix[1][2]; // 获取第二行第三列的元素，值为6

常用方法和操作：

1. 访问元素： 使用索引来访问二维数组中的特定元素，例如 matrix[i][j]，其中 i 表示行号，j 表示列号。

2. 遍历二维数组： 使用嵌套循环来遍历二维数组，通常使用一个循环迭代行，另一个循环迭代列，以访问所有元素。

3. 初始化： 在定义二维数组时，可以初始化数组的值。可以使用嵌套列表（Python）、嵌套数组（C/C++）或类似方式来初始化。

4. 修改元素： 可以通过索引来修改特定元素的值，例如 matrix[i][j] = newValue。

5. 获取数组的行数和列数： 可以使用数组的长度或大小来获取行数和列数。

6. 在算法中使用： 二维数组在解决各种问题时非常有用，例如矩阵运算、图算法、迷宫求解等。

7. 释放内存（C/C++）： 在使用动态分配内存创建二维数组时，需要谨慎释放内存以防止内存泄漏。

二维数组是一种非常灵活和强大的数据结构，可以在各种应用中发挥作用，从简单的数据存储到复杂的算法实现。