文章目录
- 写在前面
- 一、年份日期问题
-
- 1、闰年判定
- 2、月份天数
- 二、简单算法
-
- 1、前缀和
- 2、差分
- 3、二分
- 4、并查集
- 二、简单数论
-
- 1、质数判定
- 2、筛质数
- 3、进制转换
-
- （1）其他进制转十进制
- （2）十进制转其他进制
- 4、保留小数
- 5、最大公约数
- 6、最小公倍数
- 7、快速幂
- 三、常用STL
-
- 1、string
- 2、vector
- 3、queue/priority_queue
- 4、stack
- 5、set/multiset
- 6、map/multimap
- 7、unordered_set/unordered_map
- 8、pair<int,int>
- 9、algorithm
- 四、简单图论
-
- 1、单源最短路径
- 2、多源最短路
- 3、最小生成树
- 五、动态规划
-
- 1、0-1背包
- 2、完全背包
- 3、多重背包
- 4、线性DP
- 总结
写在前面
- 本文章面向第十四届蓝桥杯考生，在最后考前几天，方便自己总结与回顾，同时将其分享给大家，希望我们都能取得心仪的成绩。
- 本文章主要给出代码模版，对算法具体流程不会具体讲解，所以不太适合零基础的同学，适用于有一定算法基础，在考前想要进行复习与总结的同学。
- 文章大部分代码模版参考于y总，同时自己添加了一些常考知识点，y总代码模版参考处。
- 由于时间紧迫，给出了部分选看内容，如果学有余力的同学可以了解一下，在考试中可以多过一些测试点，多拿一些分。
一、年份日期问题
1、闰年判定
- 闰年：年份能够被4整除但不能被100整除或者能被400整除的为闰年。
代码模版
bool isryear(int n){
return n%400==0||(n%4==0&&n%100!=0);
}
2、月份天数
- 口诀：一三五七八十腊，三十一天永不差。闰年2月29天，平年2月28天。
代码模板
//也可以将数组第一个位置空出来，即填上一个随意的值，这样就可以将月份和数组下标对应了，方便访问
int pmonths[]={31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31}; //平年每月天数
int rmonths[]={31,29,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31}; //闰年每年天数
二、简单算法
1、前缀和
一维前缀和
预处理出s[]，s[i]存储前i个数的和
s[i]=a[1]+a[2]+...+a[i]
计算[l,r]区间和=s[r]-s[l-1]
二维前缀和
左上角坐标为(1,1)，右下角坐标为(i,j)的前缀和（区域内所有数的和）
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]
求左上角坐标为(x1,y1)，右下角坐标为(x2,y2)的前缀和
s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]
- 参考例题：这里
2、差分
一维差分
int b[N]; //b为差分数组，直接定义为全局即可，如果要对某个数组进行差分操作，直接先将该数组中每个数进行insert(i,i,a[i])操作即可得到a的差分数组b
//对区间[l,r]进行差分操作时
void insert(int l,int r,int c){
b[l]+=c;
b[r+1]-=c;
}
//差分完后对b数组求前缀和即可，求完前缀和后的b数组即进行完对某些区间加减某个数操作后的原数组
二维差分
int b[N][N]; //差分数组
//对左上角坐标为(l1,r1)，右下角坐标为(l2,r2)的矩阵进行差分操作时
void insert(int l1,int r1,int l2,int r2,int c){
b[l1][r1]+=c;
b[l1][r2+1]-=c;
b[l2+1][r1]-=c;
b[l2+1][r2+1]+=c;
}
//同样，差分操作完成后对b数组求前缀和，即可得到对原数组某些区域加减某个数后操作的原数组
- 参考例题：这里
3、二分
//首先确定区间的二段性：二部分分别满足不同的性质。以任意一部分的性质作为check条件，如果mid满足check判断区间应该缩小到哪部分，如果在[l,mid]利用模板1，如果在[mid,r]利用模板2
//模版1
int l=0,r=n; //二分区间[l,r]
while(l<r){
int mid=l+r>>1;
if(check(mid)) r=mid;
else l=mid+1;
}
//模版2
int l=0,r=n; //二分区间[l,r]
while(l<r){
int mid=l+r+1>>1;
if(check(mid)) l=mid;
else r=mid-1;
}
//算法结束l=r,l、r均为结果
- 参考例题：这里
4、并查集
代码模板
int p[N]; //祖宗结点数组
for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i; //初始化
int find(int x){ //查找祖宗结点
if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);
return p[x];
}
p[find(a)]=find(b); //合并a,b集合
- 参考例题：这里
二、简单数论
1、质数判定
- 试除法判定质数：时间复杂度O(n2)
代码模板
bool isprimes(int n){
if(n<2) return false;
for(int i=2;i<=n/i;i++){
if(n%i==0) return false;
}
return true;
}
2、筛质数
- 埃氏筛法：时间复杂度O(nloglogn)
代码模板
bool st[N]; //存储每个数是否被筛掉
int primes[N],cnt; //primes[]存储每个质数，cnt记录质数的数量
void getprimes(int n){
st[0]=st[1]=true;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!st[i]){
primes[cnt++]=i;
for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
st[j]=true;
}
}
}
}
- 线性筛法：参考我的该篇博客
- 参考例题：这里
3、进制转换
（1）其他进制转十进制
- 利用秦九韶算法O(n)时间计算n进制数转十进制的结果（n小于10，n大于10时特殊判断
A~Z字母即可）
//传入为string类型
int ntoten(string s,int n){ //n表示传入的是多少进制数，s为n进制数
int ans=0;
for(int i=0;i<s.size();i++){
ans=ans*n+s[i]-'0';
}
return ans;
}
//传入为数组，num为数组中元素个数
int ntoten(int a[],int num,int n){
int ans=0;
for(int i=0;i<num;i++){
ans=ans*n+a[i];
}
}
- 刚刚比完的AcWing第97场周赛正好考到了，可以关注我明天发的周赛题解，我发布之后也会在此补上链接（补在下面了）。
- 参考例题：这里
（2）十进制转其他进制
- 短除法：先得到的余数为低位，即使用短除法直到商为0，余数从下往上排列即为转换后的进制的数。
- 十进制转n进制（n小于10，n小于10，n大于10时需传入字符串思路大同小异，注意特殊处理字母
A~Z即可）
//利用栈
void tenton(int nums,int n){ //nums为需要转换的数，n为需要转换的进制数
stack<int> s;
while(nums){
s.push(nums%n);
nums/=n;
}
while(!s.empty()){
cout<<s.top();
s.pop();
}
}
//用数组存储，然后反转数组
int a[N];
void tenton(int nums,int n){ //nums为需要转换的数，n为需要转换的进制数
int cnt=0; //记录数组中元素个数
while(nums){
a[cnt++]=nums%n;
nums/=n;
}
reverse(a,a+cnt);
for(int i=0;i<cnt;i++) cout<<a[i];
}
4、保留小数
- 头文件
#include <iomanip>，利用fixed和setprecision()来实现四舍五入保留任意位数小数。
代码模板
//例：对a保留两位小数
cout<<fixed<<setprecision(2)<<a;
5、最大公约数
- 欧几里得算法：
a与b的最大公约数等于b与a%b的最大公约数。
代码模版
int gcd(int a,int b){
return b?gcd(b,a%b):a;
}
- 参考例题：这里
6、最小公倍数
a与b的最大公约数与最小公倍数的乘积=a * b，所以最小公倍数=a*b/gcd(a,b)
7、快速幂
代码模板
typedef long long LL; //需要快速幂的值一般较大，所以开long long
//返回a^b%p的结果
int qmi(int a,int b,int p){
LL res=1%p;
while(b){
if(b&1) res=res*a%p;
b>>=1;
a=(LL)a*a%p;
}
return res;
}
- 参考例题：这里
三、常用STL
1、string
#include <string> //头文件
size() //返回大小
empty() //判断是否为空
clear() //清空
substr(起始下标，子串长度) //返回指定长度子串
find() //查找字符第一次出现的位置，如果没有出现过则返回string::npos
//非成员函数
stoi() //将字符串转化成int类型，传入string类型字符串
atoi() //将字符串转化为int类型，传入char类型字符串
2、vector
#include <vector> //头文件
size() //返回元素个数
empty() //判空
clear() //清空
push_back() //在尾部添加一个元素
pop_back() //删除最后一个元素
begin()/end() //首迭代、尾迭代
front()/back() //返回第一个/最后一个元素
3、queue/priority_queue
注：还有deque，由于本人不怎么使用没有总结，感兴趣的朋友有时间了解一下。
#include <queue> //头文件
//queue
size() //返回队列中元素的个数
empty() //判空
push() //在末尾加入一个元素
pop() //删除第一个元素
front()/back() //返回第一个/最后一个元素
//priority_queue
size() //返回优先队列中元素的个数
empty() //判空
push() //加入一个元素
pop() //删除堆顶元素
top() //返回堆顶元素
默认定义为大根堆
//定义成小根堆方法：
priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> q;
4、stack
#include <stack> //头文件
size() //返回栈元素个数
empty() //判空
push() //入栈
pop() //出栈
top() //返回栈顶元素
5、set/multiset
#include <set> //头文件
set去重,multiset不去重，均默认升序排序
底层红黑树
size() //返回集合中元素个数
empty() //判空
clear() //清空所有元素
insert() //在集合中插入元素
find() //查找一个数，如果找到则返回该数第一次出现位置的迭代器，否则返回尾迭代
count() //返回某个值元素的个数
6、map/multimap
#include <map> //头文件
map去重，multimap不去重，均默认以key值(第一属性)升序排序
底层红黑树
size() //返回map中元素个数
empty() //判空
insert() //插入元素
find() //同上
count() //同上
7、unordered_set/unordered_map
#include <unordered_set> //头文件
#include <unordered_map>
底层哈希
操作与set、map基本一致，参考上面即可
8、pair<int,int>
#include <utility> //头文件
first //第一个元素
second //第二个元素
//适用sort对其排序时默认以第一个元素升序排序
9、algorithm
#include <algorithm> //头文件
sort() //传入首、尾地址（或首、尾迭代）排序，默认升序
//若要降序排序或对结构体按其属性排序，需手写cmp函数
bool cmp(int a,int b){
return a>b;
}
sort(a,a+n,cmp);
//对结构体指定属性排序，例：
struct Student{
string name;
double score;
}stu[N];
bool cmp(Student A,Student B){
return A.score>B.score;
}
//按成绩降序排序
sort(stu,stu+n,cmp);
max() //取最大值
min() //取最小值
swap() //交换两个元素的值
reverse() //传参和sort一致，反转区间内的元素顺序
unqiue() //传参和和sort一致，去重相邻的相同元素，若原序列无序首先需排序，返回去重后原序列尾迭代
四、简单图论
1、单源最短路径
-
Dijkstra算法：求解边权均为正的单源最短路。
-
朴素版本：适用于稠密图（边数和点数平方一个数量级）
代码模板
int n; //点数
int g[N][N]; //邻接矩阵存储图
int dist[N]; //存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; //存储每个点的最短路是否已经确定
int dijkstra(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1]=0;
for(int i=0;i<n;i++){ //迭代n次
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++){ //寻找距离最小的点
if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j])) t=j;
}
st[t]=true; //标记为已确定
for(int j=1;j<=n;j++) dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]); //用距离最小的点来更新其他点距离1号点的距离
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -3; //最短路不存在
else return dist[n]; //存在直接返回
}
选看:
堆优化Dijkstra算法：适用于稀疏图（边数和点数一个数量级）可以参考我的该篇博客
- Spfa算法：求解存在负权边的最短路。
代码模板
int n,m; //n表示点数，m表示边数
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx; //邻接表存储图
int dist[N]; //存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; //存储每个点是否已经在队列中
//邻接表加边
void add(int a,int b,int c){
e[idx]=b;
w[idx]=c;
ne[idx]=h[a];
h[a]=idx++;
}
int spfa(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
queue<int> q;
dist[1]=0;
st[1]=true;
q.push(1);
while(!q.empty()){
int t=q.front();
q.pop();
st[t]=false;
for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
int j=e[i];
if(dist[j]>dist[t]+w[i]){
dist[j]=dist[t]+w[i];
if(!st[j]){
st[j]=true;
q.push(j);
}
}
}
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -3;
else return dist[n];
}
- 参考例题：这里
2、多源最短路
注：若时间紧迫，优先记忆Floyd算法，也可解决单源最短路问题，只不过时间复杂度较高，可以用其获得部分分数。
- Floyd算法：求解多源最短路。
代码模板
int n; //点数
int d[N][N]; //邻接矩阵存储图，算法结束后d[i][j]存储i、j之间的最短路径长度
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i==j) d[i][j]=0;
else d[i][j]=0x3f3f3f3f;
}
}
void floyd(){
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
}
}
}
//注意，若图中存在负权边，所以1号点无法到n号点，d[1][n]也可能被更新也可能则d[i][j]若大于0x3f3f3f3f/2即可认为最短路不存在
- 参考例题：这里
3、最小生成树
- Prim算法：
代码模板
int n; //点数
int dist[N]; //存储点到当前最小生成树的距离
int g[N][N]; //邻接矩阵存储每条边
bool st[N]; //存储每个点是否已经在生成树中
int prim(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
int res=0; //存储最小生成树边权重之和
for(int i=0;i<n;i++){
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++){ //寻找距离当前生成树最小的点
if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j])) t=j;
}
if(i&&dist[t]==0x3f3f3f3f3) return 0x3f3f3f3f; //如果距离最小的点的距离仍然是正无穷说明无最小生成树
if(i) res+=dist[t];
for(int j=1;j<=n;j++) dist[j]=min(dist[j],g[t][j]);
st[t]=true;
}
return res; //返回最小生成树边权重之和即可
}
- Kruakal算法：
代码模板
int p[N]; //并查集父结点数组
int find(int x){ //并查集find操作
if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);
return p[x];
}
struct Edge{ //存储每条边
int a,b,w;
}edges[M];
bool cmp(Edge A,Edge B){ //手写cmp，使sort能为结构体排序
return A.w<B.w;
}
int kruskal(){
for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i; //初始化并查集
sort(edges,edges+m,cmp); //按边权从小到大排序
int res=0,cnt=0; //res记录最小生成树边权之和，cnt记录当前最小生成树种的边数
for(int i=0;i<m;i++){
int a=edges[i].a,b=edges[i].b,w=edges[i].w;
if(find(a)!=find(b)){ //最小边权的起点和终点a,b不在一个连通块则合并他们
p[find(b)]=find(a);
res+=w;
cnt++;
}
}
if(cnt<n-1) return 0x3f3f3f3f; //n个点，最小生成树的边应为n-1条，少于n-1说明没有最小生成树
else return res;
}
- 参考例题：这里
五、动态规划
1、0-1背包
- 0-1背包问题：每件物品只有一个。
代码模板
int dp[N]; //存储每个状态的最大价值
int v[N],w[N]; //v[]存储每个物品的体积，w[]存储每个物品的价值
int n,m; //n为物品数，m为背包容积
for(int i=1;i<=n;i++){ //枚举每个物品
for(int j=m;j>=v[i];j--){ //逆序枚举背包体积
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
- 具体参考这里
2、完全背包
- 完全背包问题：每种物品有无限个。
代码模板
int dp[N]; //存储每个状态的最大价值
int v[N],w[N]; //v[]存储每个物品的体积，w[]存储每个物品的价值
int n,m; //n为物品数，m为背包容积
for(int i=1;i<=n;i++){ //枚举每个物品
for(int j=v[i];j<=m;j++){ //正序枚举背包体积
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
3、多重背包
- 多重背包问题：每种物品有不同数量。
代码模板
int dp[N]; //存储每个状态的最大价值
int v[N],w[N],s[N]; //v[]存储每个物品的体积，w[]存储每个物品的价值，s[]存储每个物品的最大数量
int n,m; //n为物品数，m为背包容积
for(int i=1;i<=n;i++){ //枚举每个物品
for(int j=m;j>=v[i];j--){ //逆序枚举背包体积
for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
}
}
- 参考例题：这里
4、线性DP
- DP没有固定模板，建议复习一下最长上升子序列和最长公共子序列问题的解题思想。
总结
- 以上内容均为比较基础的内容，如果学有余力，可以多拓展一些，真正的强者不应止步于此，我去写周赛题解了，再见。
- 最后希望我们都能取得自己心仪的成绩，我们一起加油，奥利给!
版权声明：本文为博主作者：马看到什么是人决定的原创文章，版权归属原作者，如果侵权，请联系我们删除！
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