线性代数的学习和整理11: 子式与余子式

目录

1 原始矩阵A

• 下面设计一个原始矩阵A，故意设计为A34, 行数≠列数

2 子式（都是行列式）

• 子式都是行列式
• 行列式一定是n行n列的

2.1 k阶子式（行数=列数即可）

• 从一个矩阵中任取k行k列，交叉处会有k*k个元素，这些元素构成仍然保持在矩阵中的相对位置次序得到的k阶行列式，称为矩阵的K阶子式

1. 如果取1行1列，就是1个元素
2. 如果取2行2列，就是4个元素
3. 如果取3行3列，就是9个元素

• 如果一个矩阵 Am*n 如果i∈m是1个k元子集，而且  j∈n是1个k元子集, 那么|A|i*j是Am*n的k阶子式
• 简单的说，子式就是从矩阵里选择部分元素形成的行列式，行数=列数即可

比如1阶子式：因为只有1行1列

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1  \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   7  \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

比如2阶子式：因为有2行2列

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1 & 2  \\
   5 & 6   \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1  & 4  \\
   5  & 8   \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

比如3阶子式：因为有3行3列

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1  & 3 & 4  \\
   5  & 7 & 8   \\
   9  &11 & 12   \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

2.2 k阶主子式 {行序号数组} ={列序号数组}

• 如果取得行号列号相等，则是k阶主子式
• 如果i=j,那么|A|i*j是Am*n的k阶主子式
• 简单的说，主子式就是从矩阵里旋转的部分矩阵形成的行列式，要求行数=列数，并且还要求是 {行序号数组} ={列序号数组}

比如1阶主子式：因为有1行1列，且是第1行，第1列

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1  \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

但是下面这个子式就不是主子式，因为取得是第2行，第3列的内容构成的子式

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   7  \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

比如2阶主子式：因为有2行2列，且是第1，2行，第1，2列

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1 & 2  \\
   5 & 6   \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

下面这个子式仍然是主子式，因为取得是第1，3行，第1，3列的内容构成的子式

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1 & 3  \\
   9 & 11  \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

但是下面这个子式就不是主子式，因为取得是第1，2行，第1，4列的内容构成的子式

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1  & 4  \\
   5  & 8   \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

比如3阶主子式：因为有3行3列，且是第1，2，3行，第1，2，3列

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1  & 2 & 3  \\
   5  & 6 & 7   \\
   9  &10 & 11   \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

但是下面这个子式就不是主子式，因为取得是第1，2，3行，第1，3，4列的内容构成的子式

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1  & 3 & 4  \\
   5  & 7 & 8   \\
   9  &11 & 12   \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

2.3 k阶顺序主子式 {行序号数组} ={列序号数组}，且按次序取

• 如果i=j=(1,2….k),即取得是左起前k列，和上起前k行,那么|A|i*j是Am*n的k阶顺序主子式
• 简单的说，顺序主子式就是从矩阵里旋转的部分矩阵形成的行列式，要求行数=列数，并且还要求是 {行序号数组} ={列序号数组}，并且，还得是按从左到右，从上到下这么按次序取行和列。

1阶顺序主子式：因为有1行1列，且是第1行，第1列

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1  \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

2阶顺序主子式：因为有2行2列，且是第1，2行，第1，2列

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1 & 2  \\
   5 & 6    \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

3阶顺序主子式：因为有3行3列，且是第1，2，3行，第1，2，3列

$$
 \left[
 \begin{matrix}
   1 & 2 & 3  \\
   5 & 6 & 7   \\
   9 & 10 &11   \\
  \end{matrix}
  \right]
$$

3 余子式

作用是把n阶行列式化简为n – 1阶行列式

3.1 余子式

• 在n阶行列式（意味着比然是方阵对应的矩阵）中，把aij所在的第i行和第j列的内容划掉，留下来的行列式称为余子式。
• 记为Mij

3.2 代数余子式

严格定义

• 行列式 An*n
• 其余子式 Mij
• 代数余子式记为Cij=(-1)^(i+j)*Mij

3.3 重点(-1)^(i+j)

• 代数余子式记为Cij=(-1)^(i+j)*Mij
• (-1)^(i+j) 这个需要参考：行列式的展开时用到的克拉默法则
• 全排列
• 数组的逆序数之和
• 根据第2项脚标，展开计算逆序数之和，见下图

3.4 余子式作用是？

• 作用是把n阶行列式化简为n – 1阶行列式
• C的转置矩阵称为A的伴随矩阵，伴随矩阵类似于逆矩阵，并且当A可逆时可以用来计算它的逆矩阵。
• 3阶行列式的展开，需要用到余子式的计算