【数据结构】算法效率揭秘：时间与空间复杂度的较量

前言

在计算机科学中，时间复杂度和空间复杂度是衡量算法性能的两个重要指标。它们分别表示算法在执行过程中所需的时间和空间资源。了解这两个概念有助于我们评估和比较不同算法的优劣，从而选择更合适的算法解决问题~

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目录

前言

 算法效率

时间复杂度

大O的渐进表示法

推导大O阶

示例1  冒泡排序

若没有优化的代码

考虑最好的情况

考虑最坏的情况

代码优化后

考虑最好的情况

示例2  二分查找

示例3  递归(一路)

示例4  递归(二路)

空间复杂度

示例1（代码与上面示例1同）冒泡排序

示例2

示例3（代码与上面示例3同）递归(一路)

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 算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作 空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，

时间复杂度

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。

一个 算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。一个算 法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？
void func1(int N){
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N ; i++) {
        for (int j = 0; j < N ; j++) {
            count++;//n^2
       }
   }
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
        count++;//2n
   }
 
    int M = 10;
    while ((M--) > 0) {
        count++;//n
   }
 
    System.out.println(count);
}

实际中我们计算时间复杂度时，只需要大概执行次数，所以使用大O的渐进表示法。N代表问题的规模。

推导大O阶

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O（N^2）

大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到 

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

示例1  冒泡排序

// 计算bubbleSort的时间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
    for (int end = array.length; end > 0; end--) {
        boolean sorted = true;
        for (int i = 1; i < end; i++) {
            if (array[i - 1] > array[i]) {
                Swap(array, i - 1, i);
                sorted = false;
           }
       }
 
        if (sorted == true) {
            break;
       }
   }
}

若没有优化的代码

        if (sorted == true) {
            break;

考虑最好的情况

外循环end=n时，内循环要走n-1次

外循环end=n-1时，内循环要走n-2次

……

外循环end=2时，内循环要走1次

所以最好的情况总次数(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1=n^2/2-n/2,所以时间复杂度为O(n^2)

考虑最坏的情况

因为有两个for循环，直接n*n=n^2

代码优化后

考虑最好的情况

第一遍就是有序的，即至少要遍历一遍数据，所以时间复杂度为O（n）

示例2  二分查找

// 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
    int begin = 0;
    int end = array.length - 1;
    while (begin <= end) {
        int mid = begin + ((end-begin) / 2);
        if (array[mid] < value)
            begin = mid + 1;
        else if (array[mid] > value)
            end = mid - 1;
        else
            return mid;
   }
 
    return -1;
}

二分查找，每次去除掉一半的数据，

考虑最坏的情况：找到最后一个数字为目标数字，

有N个数据，设当折半x次找到，则N/2^x=1,得x=log2N

示例3  递归(一路)

递归的时间复杂度=递归的次数 * 每次递归后的代码的执行次数

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
 return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}

这里的递归次数为N次

每次递归回来执行了三目运算符，即1次

所以时间复杂度为N*1=N,即O(N)

示例4  递归(二路)

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
int fibonacci(int N) {
 return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

考虑最坏的情况，这里的递归次数为2^0+2^1+……+2^(N-1)=2^N-1次

每次递归回来执行了三目运算符，即1次

所以时间复杂度为2^N-1,即O(2^N)

空间复杂度

是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

示例1（代码与上面示例1同）冒泡排序

使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

示例2

// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] fibonacci(int n) {
    long[] fibArray = new long[n + 1];
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; i++) {
    fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
   }
 
    return fibArray;
}

 示例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

示例3（代码与上面示例3同）递归(一路)

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)