Hermite矩阵
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将线性代数中的实矩阵扩展为复矩阵
一、正规矩阵
【定义】AH矩阵
对复矩阵
有
矩阵为
【定理】 AH的运算性质
由
的定义可知：
【定义】正规矩阵、特殊的正规矩阵
正规矩阵是满足
的矩阵，有：
- 酉矩阵：
（参考正交矩阵 ） 是正规矩阵 - Hermite矩阵：
（参考对阵矩阵 ）是正规矩阵 - 反Hermite矩阵：
（参考反对称矩阵/反称矩阵 ）是正规矩阵 - 对角矩阵是正规矩阵
【定理】与正规矩阵酉相似的矩阵也是正规矩阵
【定理】正规的上(下)三角矩阵必为对角矩阵
【定义】复向量的内积
比如 复向量
【定理】Schmitt正交化
注意：下面的内积是复向量内积
（线性无关） （正交） （标准正交）
二、酉矩阵（unitary）
酉矩阵是正交矩阵的推广
【定理】酉矩阵的判定
矩阵
为酉矩阵当且仅当下列条件之一被满足：
【定理】数值矩阵与酉矩阵性质的类比
数值矩阵的很多性质都可以在酉矩阵得到对应
- 正交
正交矩阵
是标准正交向量组（不一定非得是基） 酉矩阵
是标准正交向量组
- 相似
- 相似：
，其中 可逆；正交相似： ，其中 正交 - 酉相似：
，其中 是酉矩阵
【定理】酉矩阵的所有特征值模都等于1，并且属于不同特征值的特征向量正交
这是因为在产生酉矩阵的过程中，所有的向量都进行了Schmitt正交化
【定理】Schur定理
设
， 则存在n阶酉矩阵
，使得 为上三角矩阵，其主对角元为 的全部特征值
【定理】A酉相似于对角矩阵，则A为正规矩阵
设
， 则
为正规矩阵当且仅当 酉相似于对角矩阵 ，其中
三、Hermite矩阵
【定理】Hermite矩阵的特征值必为实数，并且属于不同特征值的特征向量正交
【定理】反Hermite矩阵的特征值为0或纯虚数，并且属于不同特征值的特征向量正交
【定理】Hermite/反Hermite矩阵当且仅当的判断
设
，则 为Hermite矩阵 当且仅当
酉相似于对角矩阵 ，其中 均为实数，它们为 的全部特征值 设
，则 为反Hermite矩阵 当且仅当
酉相似于对角矩阵 ，其中 的实部均为0，它们为 的全部特征值
求酉相似对角化的酉矩阵的方法（类似本科线性代数）：
两边同时左乘
按列分块得到
将
四、Hermite二次型
将线性代数的实二次型扩展到复二次型
【定义】Hermite二次型
复二次型的表达式：
其中因为
具有性质，故 为 Hermite 矩阵（即为 Hermite 二次型），可以写为
二次型的核心问题是怎么把二次型标准化（在一定的可逆变换下，消除掉所有的交叉项）
【定义】复相合
设
，如果存在 n 阶可逆矩阵 ，使得 ，则称 与 复相合
【定理】每个二次型都可酉变换为标准型
任意 Hermite 二次型经过某个酉变换
， ，可以化为标准型 ，这里 为 的全部特征值
【定理】Hermite二次型经过适当可逆线性替换可化为规范型
Hermite二次型经过适当的可逆线性替换
，这里 为可逆矩阵，可以华为规范型：
这里为二次型 的秩
【定理】Hermite二次型的规范型唯一
五、正定Hermite矩阵
【定义】Hermite二次型的正定、负定、半正定、半负定、不定
- 正定：如果
， 且 当且仅当 ，则称二次型 为正定的 - 负定：如果
， 且 当且仅当 ，则称二次型 为负定的 - 半正定：如果
， 且 ，使得 ，则称二次型 为半正定的 - 半负定：如果
， 且 ，使得 ，则称二次型 为半负定的 - 不定：如果
，使得 ，又 ，使得 ，则称二次型 为不定的
【定理】正定、负定、半正定、半负定、不定 与 正负惯性指数 的关系
- 正定
- 负定
- 半正定
- 半负定
- 不定
【定义】Hermite矩阵的正定、负定、半正定、半负定、不定
如果 Hermite 矩阵对应的二次型是正定、负定、半正定、半负定、不定的，则该Hermite矩阵是正定、负定、半正定、半负定、不定的
【定理】正定的当且仅当条件
设
为 n 阶矩阵，则 为正定的当且仅当下列条件之一：
的所有特征值全部大于0 - 存在可逆矩阵
，使得 - 存在可逆矩阵
，使得 的各级顺序主子式全大于0
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