Hermite矩阵
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将线性代数中的实矩阵扩展为复矩阵
一、正规矩阵
【定义】AH矩阵
对复矩阵
有 矩阵为
【定理】 AH的运算性质
由 的定义可知:
【定义】正规矩阵、特殊的正规矩阵
正规矩阵是满足 的矩阵,有:
- 酉矩阵: (参考正交矩阵 ) 是正规矩阵
- Hermite矩阵: (参考对阵矩阵 )是正规矩阵
- 反Hermite矩阵: (参考反对称矩阵/反称矩阵 )是正规矩阵
- 对角矩阵是正规矩阵
【定理】与正规矩阵酉相似的矩阵也是正规矩阵
【定理】正规的上(下)三角矩阵必为对角矩阵
【定义】复向量的内积
比如 复向量 ,求其内积
【定理】Schmitt正交化
注意:下面的内积是复向量内积
(线性无关) (正交) (标准正交)
二、酉矩阵(unitary)
酉矩阵是正交矩阵的推广
【定理】酉矩阵的判定
矩阵 为酉矩阵当且仅当下列条件之一被满足:
【定理】数值矩阵与酉矩阵性质的类比
数值矩阵的很多性质都可以在酉矩阵得到对应
- 正交
正交矩阵 是标准正交向量组(不一定非得是基)
酉矩阵 是标准正交向量组
- 相似
- 相似:,其中 可逆;正交相似:,其中 正交
- 酉相似:,其中 是酉矩阵
【定理】酉矩阵的所有特征值模都等于1,并且属于不同特征值的特征向量正交
这是因为在产生酉矩阵的过程中,所有的向量都进行了Schmitt正交化
【定理】Schur定理
设 ,
则存在n阶酉矩阵 ,使得 为上三角矩阵,其主对角元为 的全部特征值
【定理】A酉相似于对角矩阵,则A为正规矩阵
设 ,
则 为正规矩阵当且仅当 酉相似于对角矩阵 ,其中
三、Hermite矩阵
【定理】Hermite矩阵的特征值必为实数,并且属于不同特征值的特征向量正交
【定理】反Hermite矩阵的特征值为0或纯虚数,并且属于不同特征值的特征向量正交
【定理】Hermite/反Hermite矩阵当且仅当的判断
设 ,则 为Hermite矩阵
当且仅当 酉相似于对角矩阵 ,其中 均为实数,它们为 的全部特征值
设 ,则 为反Hermite矩阵
当且仅当 酉相似于对角矩阵 ,其中 的实部均为0,它们为 的全部特征值
求酉相似对角化的酉矩阵的方法(类似本科线性代数):
两边同时左乘 有
按列分块得到
将 和 乘进去,得到:
四、Hermite二次型
将线性代数的实二次型扩展到复二次型
【定义】Hermite二次型
复二次型的表达式:
其中因为
具有性质 ,故 为 Hermite 矩阵(即为 Hermite 二次型),可以写为
二次型的核心问题是怎么把二次型标准化(在一定的可逆变换下,消除掉所有的交叉项)
【定义】复相合
设 ,如果存在 n 阶可逆矩阵 ,使得 ,则称 与 复相合
【定理】每个二次型都可酉变换为标准型
任意 Hermite 二次型经过某个酉变换 ,,可以化为标准型 ,这里 为 的全部特征值
【定理】Hermite二次型经过适当可逆线性替换可化为规范型
Hermite二次型经过适当的可逆线性替换 ,这里 为可逆矩阵,可以华为规范型:
这里 为二次型 的秩
【定理】Hermite二次型的规范型唯一
五、正定Hermite矩阵
【定义】Hermite二次型的正定、负定、半正定、半负定、不定
- 正定:如果 , 且 当且仅当 ,则称二次型 为正定的
- 负定:如果 , 且 当且仅当 ,则称二次型 为负定的
- 半正定:如果 , 且 ,使得 ,则称二次型 为半正定的
- 半负定:如果 , 且 ,使得 ,则称二次型 为半负定的
- 不定:如果 ,使得 ,又 ,使得 ,则称二次型 为不定的
【定理】正定、负定、半正定、半负定、不定 与 正负惯性指数 的关系
是正惯性指数, 是负惯性指数, 是二次型的秩
- 正定
- 负定
- 半正定
- 半负定
- 不定
【定义】Hermite矩阵的正定、负定、半正定、半负定、不定
如果 Hermite 矩阵对应的二次型是正定、负定、半正定、半负定、不定的,则该Hermite矩阵是正定、负定、半正定、半负定、不定的
【定理】正定的当且仅当条件
设 为 n 阶矩阵,则 为正定的当且仅当下列条件之一:
- 的所有特征值全部大于0
- 存在可逆矩阵 ,使得
- 存在可逆矩阵 ,使得
- 的各级顺序主子式全大于0
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