向量叉乘的几何意义及其模的计算

目的：在传统的向量叉乘计算中，常常遇到叉乘。定义为向量。其这个向量方向满足右手定则。它的模大小，一般被忽略。因此推测一下。

向量叉乘定义：
外积（英语：Cross product）又称向量积（英语：Vector product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，用符号：表示。可以定义为：

假设两个向量外积,它的方向为。其方向由右手定则决定。模长等于这两个向量边的平行四边形的面积。
它的定义也可以写成：

其中为两个向量的夹角；分别为两个向量的模长。为垂直于所在平面的法向量，且它满足右手定则。如下图：

因为基向量两两垂直，且为单位向量。 表示都为的向量。所以得到：

将代入公式得到如下：

公式的，在日常用行列式计算表达。使用的矩阵余子式计算方式。它和代数计算方式相等。

因为它为基向量，在欧式几何中，它的表达为：

因此代入到得到：

上面是基于基向量的表达，它和上面的公式对应，因此可以得到：

在一些应用，经常向量的表示转化为矩阵的运算。因此(13)公式可以表示矩阵和向量的乘法。

两个向量的叉乘仅仅在三维空间有定义。在二维空间没有定义。

下面介绍向量的行列式和向量组成的平行四边形面积的关系。
假设为二维向量。这样易于解释。因此画图如下：

转化一下表达，因为不好计算，需要计算。

其中.且,容易得到公式简化，简化上述等式为：

因为是通过旋转90度得到的，如下图。

因此假设 得到

因此得到公式：

可以看到行列式是面积的表达。