向量叉乘的几何意义及其模的计算

目的:在传统的向量叉乘计算中,常常遇到叉乘。定义为向量。其这个向量方向满足右手定则。它的模大小,一般被忽略。因此推测一下。

向量叉乘定义:
外积(英语:Cross product)又称向量积(英语:Vector product),是对三维空间中的两个向量的二元运算,用符号:向量叉乘的几何意义及其模的计算表示。可以定义为:
向量叉乘的几何意义及其模的计算
假设两个向量向量叉乘的几何意义及其模的计算外积,它的方向为向量叉乘的几何意义及其模的计算。其方向由右手定则决定。模长等于这两个向量边的平行四边形的面积。
它的定义也可以写成:
向量叉乘的几何意义及其模的计算
其中向量叉乘的几何意义及其模的计算为两个向量的夹角向量叉乘的几何意义及其模的计算向量叉乘的几何意义及其模的计算分别为两个向量向量叉乘的几何意义及其模的计算的模长。向量叉乘的几何意义及其模的计算为垂直于向量叉乘的几何意义及其模的计算所在平面的法向量,且它满足右手定则。如下图:

因为基向量向量叉乘的几何意义及其模的计算两两垂直,且为单位向量。向量叉乘的几何意义及其模的计算 表示都为向量叉乘的几何意义及其模的计算的向量。所以得到:
向量叉乘的几何意义及其模的计算
向量叉乘的几何意义及其模的计算代入公式向量叉乘的几何意义及其模的计算得到如下:
向量叉乘的几何意义及其模的计算

公式的向量叉乘的几何意义及其模的计算,在日常用行列式计算表达。使用向量叉乘的几何意义及其模的计算的矩阵余子式计算方式。它和代数计算方式相等。
向量叉乘的几何意义及其模的计算

因为它为基向量,在欧式几何中,它的表达为:
向量叉乘的几何意义及其模的计算
因此向量叉乘的几何意义及其模的计算代入到向量叉乘的几何意义及其模的计算得到:
向量叉乘的几何意义及其模的计算

上面是基于基向量的表达,它和上面的公式对应,因此可以得到:
向量叉乘的几何意义及其模的计算

在一些应用,经常向量的表示转化为矩阵的运算。因此(13)公式可以表示矩阵和向量的乘法。
向量叉乘的几何意义及其模的计算

两个向量的叉乘仅仅在三维空间有定义。在二维空间没有定义。

下面介绍向量的行列式和向量组成的平行四边形面积的关系。
假设向量叉乘的几何意义及其模的计算为二维向量。这样易于解释。因此画图如下:

转化一下表达,因为向量叉乘的几何意义及其模的计算不好计算,需要计算向量叉乘的几何意义及其模的计算

向量叉乘的几何意义及其模的计算
其中向量叉乘的几何意义及其模的计算.且向量叉乘的几何意义及其模的计算,容易得到公式简化,简化上述等式为:
向量叉乘的几何意义及其模的计算

因为向量叉乘的几何意义及其模的计算是通过向量叉乘的几何意义及其模的计算旋转90度得到的,如下图。

因此假设向量叉乘的几何意义及其模的计算 得到向量叉乘的几何意义及其模的计算

因此得到公式:
向量叉乘的几何意义及其模的计算

可以看到行列式是面积的表达。
向量叉乘的几何意义及其模的计算

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上一篇 2023年6月26日
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