机器学习西瓜书要点归纳
- 第3章 线性模型
- 3.1 基本形式
- 3.2 线性回归
- 3.3 对数几率回归
- 3.4 线性判别分析
- 3.5 多分类学习
- 3.6 类别不平衡问题
- 3.7 阅读材料
- 习题
目录地址
第3章 线性模型
3.1 基本形式
线性模型定义:
其中x是输入向量
优点:形式简单,易于建模,可解释性好。
3.2 线性回归
输入预处理:连续值可以直接用,离散值若有序,可以按序赋值变连续(如“高,中,低”变为“1,0.5,0”,否则可以单热点码编码。
回归常用MSE,要偏导数为0,当输入是一维时可以算出来:
当多元时,矩阵求导,
矩阵微分公式见南瓜书
原理可见:链接
当满秩,即可逆,可解得:
当不满秩,有多解,常见是奥卡姆剃刀式引入正则化找简单的,具体根据学习算法偏好决定。
广义线性模型:
这样子,是拟合。
3.3 对数几率回归
用于二分类任务。
所以要找替代函数(surrogate function),例如黑线:
对数几率函数(logistic function):
此时的形式为:
也可以为闭式解。
可以理解为,是正例概率,是反例概率,y/(1-y)就是正例比反例更可能的概率。
绿线是给定y的y/(1-y),蓝线是给定y的ln[y/(1-y)],
期望输入一个x,线性模型可以得到一个合适的y。
求解时,可以用极大似然估计,也就是把每个样本的标签对应的预测求和,让这个和尽可能大。
每个样本都是让下式尽可能接近于1:
二阶导大于0,这是个凸函数,可以梯度下降法或牛顿法等求和。
3.4 线性判别分析
线性判别分析(Linear Discriminant Analysis, LDA):一种二分类方法。
LDA思想:对训练集,设法将样例投影到一条直线上,使得同类样例的投影点尽可能接近,不同类样例的投影点尽可能远离;对测试集,投影到该直线,根据投影点的位置确定新样本的类别。
具体方法:
直线就是,x是输入w是参数。
要让正例和反例的平均值尽可能大,让正反例内的方差尽可能小:
定义
类内散度矩阵(within-class scatter matrix):
优化方法:
该商只与w方向有关,与w大小无关。
则不妨让分母为1,优化分子:
可从贝叶斯决策理论角度阐述,可以证明,数据同先验、满足高斯分布且协方差相等,LDA可达最优分类。
推广到多分类任务:
定义:
优化目标可为:
则
这次的推导也是看南瓜书,原理看链接
W的解是的前N-1个最大的广义特征值对应的特征向量,是最小化损失的有损压缩。
d维变成N-1维的向量,也可以作为降维的方法,可以把维度改为任意的d’而不必是N-1,但是因为Sb的秩就是N-1。
原因可参考链接,也可以在n=2时验证,理解了2个类别秩为1可以数学归纳法。
之后还是做投影,看和哪个类的距离最近。
3.5 多分类学习
本节介绍了3种模式,通过二分类器达到多分类的目的。
一对一(One vs. One,OvO)
一对其余(One vs. Rest,OvR)
多对多(Many vs. Many,MvM)
OvO和OvR:
还有DAG形式的MvM等。
3.6 类别不平衡问题
对于二分类,因为y/(1-y)是正例/负例出现的概率。
令m+、m-分别是正负例样本数,那么期望概率是m+/m-的时候,要有以m+/m-为阈值而不是原来的1,即:
此外,令期望出现正例的概率是cost-/cost+也可以作为代价敏感学习的方法,当cost-小时多预测为负,反之亦然。
3.7 阅读材料
习题
当全0向量输入时输出应该是0时。
import numpy as np
import pandas as pd
Set = pd.read_csv("data.csv")
# 数据集
X = np.array(Set[['密度','含糖率']])
# 标签
Y = np.where(np.array(Set[['好瓜']])=='是',1,0)
N,Dy = Y.shape
X = np.append(X,np.ones(N).reshape(N,1),axis=1)
_,Dx = X.shape
X=X.T
Y=Y.T
Beta = np.random.random(size=(Dx,1))
T = 10
for t in range(T):
p1=np.exp(Beta.T@X)/(1+np.exp(Beta.T@X))
f1=(-np.sum(X*(Y-p1),axis=1)).reshape(3,1)
f2=(X*p1*(1-p1))@X.T
Beta = Beta - np.linalg.inv(f2)@f1
print('t:',t)
print('Beta:',Beta)
print('p1:',p1)
# 可视化
import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(X[0], X[1], s=10, marker='o')
plt.xlabel('x0')
plt.ylabel('x1')
plt.title('Title')
for i in range(N):
plt.text(X[0][i], X[1][i], "{},{:.3f}".format(Y[0][i],p1[0][i]))
x=np.array([0.2,0.9])
a = -Beta[0][0]/Beta[1][0] # 直线斜率
b = -Beta[2][0]/Beta[1][0] # 直线截距
y_line = a * x + b # 直线方程
plt.plot(x, y_line, 'r--')
plt.show()
线右上是预测1,左下是预测0.
略
略
参考SVM的核函数。
目标是
不失一般性,任意固定c0,其他进行搜索,运算次数O(227)=O(134,217,728),可以暴力枚举。
之所以要满足这个条件,是因为,如果不是,都会带来更加偏好某一个类的效果。
是否满足该条件?
这个要取决于编码的具体方式,不是二分类能决定的。
但是二分类的分类效果也会影响概率,比如数据不均等。
当编码长度冗余,会影响独立性。
文章出处登录后可见!