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第十四届蓝桥杯省赛JavaB组试题E【蜗牛】Dijkstra堆优化 or 线性DP
时间：🍏2023年4月28日09:32:16 此题属于线性DP问题（正确题解附在文末），由于位置存储的难度，此题不再考虑dijkstra。
时间：🍏2023年4月11日10:28:22发现问题，致歉大家，我的纵坐标存储方式是错误的，但是总体思路没问题。🍑错误原因：
今天突然发现了一个问题，我存储的纵坐标的方式的错误的，按照之前发的题解我是这样来存储的：x + N + y,我记错了，应该是x * N + y，为什么是错误的呢？
首先，N是横纵坐标中最值较大的那一个，那么在此题，很明显是xi，它最大是1
e9，而纵坐标ai、bi只有1e4，那么此时N就是1e9，而x * N + y的最大就是1e18+1e4。显然超出了数组的容量，当时没注意，误把N看作是站点个数1e5了，所以想到了这样的办法。给大家说声抱歉。
这样做有什么好处呢？这样可以把二维坐标用一维来存，什么原理？令index = x * N + y；那么x = index / N；y = index % N；确实好用，但是此题数据范围过大，如果这样存储不能过全部样例。
当时没做出来也是不知道怎么存储纵坐标，所以我还是认为此题难在如何存储传送门的位置，因为传送门的位置是二维的，如果开二维数组，在编译的时候一样的堆溢出的，很懊恼，看看之后有没有其他大神的题解吧。
文章目录
- 🍋前言
- 🍋题目描述
- 🍋解题思路
- 🍋Code分析
- 🍋Code实现
- 堆优化的dijkstra（error）
- 线性dp（pass）
- 🐳结语
🍋前言
🍐小伙伴们大家好，好久没更新文章了，最近一直在准备蓝桥杯。为什么我要先发这道题的题解呢？不是因为我当时做出来了，而是因为我当时大意了没做出来。如果这道题的纵坐标存好了或许还有机会，说多了都是泪…唉，一言难尽。话不多说，先看解析吧！
🍋题目描述
🍐没看懂题意？看到“传送门”和“魔法蜗牛”怕了吗，哈哈哈哈哈哈哈哈哈! 来，我手把手教你用魔法打败魔法。咱们先来捋捋题目到底是啥意思，看个图↓
🍋解题思路
🍐图中方框代表传送门，箭头线代表可走的路径，注意，这些路线都是有方向的。我们可以把所有的位置看作是一个一个的站点，题意就变为了从原点出发，到终点的最短时间，而这个时间就等同于我们最短路径问题的距离。（还是不清楚怎么走的同学，可以配合着我的图画，看看在图片最后的坐标走向是怎么样的。 ）
🍐这道题的难点之一在于如何存储杆子上传送门的位置，通过思考我们可以得知，杆子的位置与杆子的横坐标有关，与传送门的纵坐标有关，我当时太笨了，用了一个类去存，结果在写链式前向星的时候人傻了… 正确的做法是：y = idx（杆子的横坐标）+ N（最大站点数目） + ai（传送门的高度） ，这样可以保证传送门的位置是唯一确定的，如果不加N，有可能会与后面的杆子位置重复。
🍐站点位置存好了，那边呢？一共就这么几种边：①水平边，水平边很好办，枚举前n-1个杆子的位置，距离（时间）就是横坐标相减，建立起来就好。②竖直边，传送门与地面的距离，这个刚才说了，注意一点，他们的距离不是直接写高度，上去和下来的速度是不一样的，于是我们有：
static double levelTime = 1.0, downTime = 1.0 / 1.3, upTime = 1.0 / 0.7;
🍐levelTime 表示水平的单位时间，downTime 表示下落的单位时间，upTime 表示爬上杆子的单位时间。③传送门的边，这个边很特殊，因为是瞬移，所以权值为0。
🍋Code分析
🍋我们不妨先看看用例范围：1e5？标准的dijkstra堆优化，链式前向星建图。时间复杂度是O(n logn)，稳的！那么边的数目是多少呢？dis[]数组开多大呢？我们从刚才是这个地方“y = idx（杆子的横坐标）+ N（横纵坐标较大的那个范围） + ai（传送门的高度）”以及题目的样例范围可以得出，我们给他开3倍大小的N就足够，边呢？应该是这么多：N（水平）+2N（竖直来回）+N（传送门） = 4N，管他呢，反正N最大才1e5，我们待会儿直接直接开十倍。然后就是输出那里，这里用printf来控制一下输出就行，详情看代码。
🍋Code实现
堆优化的dijkstra（error）
import java.io.*;
import java.util.*;
/**
* Created with IntelliJ IDEA.
*
* @Auther: LiangXinRui
* @Date: 2023/4/8 17:33
* @Description: 输入
* 3
* 1 10 11
* 1 1
* 2 1
* 输出
* 4.20
*/
public class Main {
final static int N = (int) (1e5 + 10), M = 10 * N;
static int n, total;
static double levelTime = 1.0, downTime = 1.0 / 1.3, upTime = 1.0 / 0.7;
static double[] dis = new double[3 * N];//每个站点到原点的最短距离（时间）
static int[] idx = new int[N];//存每个杆子的横坐标
static int[] head = new int[M], ends = new int[M], next = new int[M];
static double[] weights = new double[M];
static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
static void add(int start, int end, double weight) {
ends[total] = end;
weights[total] = weight;
next[total] = head[start];
head[start] = total++;
}
public static void main(String[] args) {
n = nextInt();
Arrays.fill(head, -1);
for (int i = 0; i < n; i++) idx[i] = nextInt();
//存水平的边，上下的边，传送门的边,纵坐标用横坐标+n+ai来表示
//添加水平边
add(0, idx[0], levelTime);
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
add(idx[i], idx[i + 1], levelTime * (idx[i + 1] - idx[i]));
}
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {//竖直边
int ai = nextInt();
int bi = nextInt();
//传送门的单向边
add(idx[i] + N + ai, idx[i + 1] + N + bi, 0);
//第一个传送门与地面的边
add(idx[i], idx[i] + N + ai, upTime);
add(idx[i] + N + ai, idx[i], downTime);
//第二个传送门与地面的边
add(idx[i + 1], idx[i + 1] + N + bi, upTime);
add(idx[i + 1] + N + bi, idx[i + 1], downTime);
}
dijkstra();
System.out.printf("%.2f", dis[idx[n - 1]]);
}
static void dijkstra() {
Queue<Node> queue = new PriorityQueue<>((o1, o2) -> (int) (o1.dis - o2.dis));//优先队列堆优化
Arrays.fill(dis, Double.MAX_VALUE);
dis[0] = 0;
queue.offer(new Node(0, weights[0]));
while (!queue.isEmpty()) {
Node hh = queue.poll();
for (int i = head[hh.num]; i != -1; i = next[i]) {
int j = ends[i];
if (dis[j] > dis[hh.num] + weights[i]) {
dis[j] = dis[hh.num] + weights[i];
queue.offer(new Node(j, dis[j]));
}
}
}
}
static class Node {
int num;
double dis;
public Node(int num, double dis) {
this.num = num;
this.dis = dis;
}
}
static int nextInt() {
try {
in.nextToken();
} catch (IOException e) {
e.printStackTrace();
}
return (int) in.nval;
}
}
线性dp（pass）
dp[i][j] 表示蜗牛走到第 i 根杆子的最短用时，j 表示状态。
j = 0 : 走到杆子底部
j = 1 ：走到杆子的传送门处
P.S.由于只与前一个杆子状态有关，其实用两个变量就行，用二维数组便于理解
时间复杂度: O(n)
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main{
static int maxn = 200005,n,m;
static long INF = (long)2e18,ans = 0,mod = (int)1e9+7;
static Scanner sc = new Scanner (System.in);
static BufferedReader bf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
static StreamTokenizer st =new StreamTokenizer(bf);
static PrintWriter pw = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
public static void main(String[]args) throws IOException{
int T = 1;
//T = Integer.parseInt(S());
while(T-->0) solve();
pw.flush();
}
static final int I() throws IOException {
st.nextToken();
return (int)st.nval;
}
static void solve() throws IOException{
n = I();
long x[] = new long [n+1];
for(int i=1;i<=n;i++) x[i] = I();
int []a = new int [n+1];
int []b = new int [n+1];
for(int i=1;i<n;i++) {
a[i] = I();b[i] = I();
}
double dp[][] = new double[n+1][2];
dp[1][0] = x[1]; //底端最小用时
dp[1][1] = x[1] + a[1] / 0.7; //传送门用时
for(int i=2; i<=n ; i++) {
dp[i][0] = Math.min(dp[i-1][0]+x[i]-x[i-1], dp[i-1][1] + b[i-1]/1.3);
dp[i][1] = Math.min(dp[i][0] + a[i] / 0.7, dp[i-1][1] + ((b[i-1]>a[i])?(b[i-1]-a[i])/1.3: (a[i]-b[i-1])/0.7));
}
pw.printf("%.2f",dp[n][0]);
}
}
🌹🌹🌹大家觉得今年的题更难一点吗？在评论区`说说自己的看法吧。💐💐💐
🐳结语
🐬初学一门技术时，总有些许的疑惑，别怕，它们是我们学习路上的点点繁星，帮助我们不断成长。
🐟文章粗浅，希望对大家有帮助！
🐟参考文章：蓝桥杯2023年第十四届省赛真题-蜗牛（线性dp）
文章出处登录后可见！
