详解量子计算:相位反冲与相位反转

前言

本文需要对量子计算有一定的了解。需要的请翻阅我的量子专栏,这里不再涉及基础知识的科普。

量子相位反冲是什么?

相位反转(phase kickback)是量子计算中的一种现象,通常在量子算法中使用,例如量子相位估计算法。相位反冲可以用于将某些运算转化为在控制比特上的操作,从而实现更高效的量子算法。

相位反冲的主要思想是将一个控制比特和一个目标比特连接在一起,然后将目标比特进行某种操作,这个操作的相位会反冲到控制比特上,使得控制比特的状态发生改变。这样,我们可以通过测量控制比特的状态来获取目标比特上的信息。

在这里插入图片描述

例如,在量子相位估计算法中,我们想要估计一个相位角θ,我们可以构造一个相应的幺正运算U,将一个有用的状态|ψ⟩作为目标比特,将一个初始状态|0⟩作为控制比特,并将它们连接在一起。然后,对控制比特应用Hadamard门,使得它处于|+⟩状态,接着对U进行一个特定的操作,使得它的相位角为2kθ,其中k是控制比特的状态,最后再对控制比特进行测量,从而可以得到θ的估计。在这个过程中,相位反冲起到了关键作用,将目标比特的相位信息传递给了控制比特。

理解相位反冲

假设我们有一个叠加态 详解量子计算:相位反冲与相位反转,和一个初始状态为 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的控制比特和目标比特。我们可以将它们放在一个线路中,并将控制比特上的Hadamard门作用在上面,将叠加态 详解量子计算:相位反冲与相位反转 与控制比特进行叠加,然后再应用CNOT门,将控制比特作为控制量子比特,目标比特作为目标量子比特。 这个操作的结果是

详解量子计算:相位反冲与相位反转

控制比特的状态(第一个量子比特)已经传递到了目标比特的相位上。这就是相位反冲技术的一个例子。为了更好的理解他,对下面的一些概念进行普及:

正交归一化叠加态

详解量子计算:相位反冲与相位反转

这个量子态可以写成:

详解量子计算:相位反冲与相位反转

其中详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转是基矢量,也就是正交的。因此,这个量子态是一个正交归一化叠加态。

假设有一个初始态 详解量子计算:相位反冲与相位反转,然后应用了一个 Hadamard 门,得到的叠加态为:详解量子计算:相位反冲与相位反转

接着,将 详解量子计算:相位反冲与相位反转 作为控制态,和一个目标态 详解量子计算:相位反冲与相位反转 经过 CNOT 门,得到的最终态为:详解量子计算:相位反冲与相位反转

此时,第一个量子比特处于正交归一化叠加态。而这个过程中就涉及了相位反演。
在量子力学中,一个系统可以被表示为其基态的叠加,每个基态都是一个量子态。如果基态是正交的且归一化,那么它们可以构成一个正交归一化基。一个系统也可以被表示为不同的基的线性组合,这些基构成正交归一化叠加态。这些叠加态不仅是描述量子态的方便工具,而且在许多实际应用中也具有重要作用,比如在量子计算和量子通信中。
下面是系统的概念:
正交归一化叠加态: 在量子力学中,一个量子态是指一个量子系统所处的状态。量子态可以用一个或多个复数表示,其中每个复数都对应于系统的一个可能状态。当涉及到多个态时,为了避免出现混乱,需要对这些态进行归一化和正交化。
归一化是指将一个向量除以其长度,以使其长度等于1。在量子力学中,归一化态是一个长度为1的量子态,它是由量子态中的每个系数除以归一化系数而得到的。归一化态在量子力学中非常重要,因为在某些情况下,只有归一化的态才能表示物理上可观测的状态。为了理解这个概念,下面我们来看一些例子:

详解量子计算:相位反冲与相位反转:这是一个三量子比特的量子态。它的归一化系数为详解量子计算:相位反冲与相位反转
详解量子计算:相位反冲与相位反转:这是一个三量子比特的量子态。它的归一化系数为详解量子计算:相位反冲与相位反转

正交是指两个向量之间的内积为0,或者说两个向量之间的夹角为90度。在量子力学中,正交态是两个不同的量子态之间的内积为0的态。这意味着这些态可以互相区分并被用于描述系统的不同状态。例如,如果一个系统可以处于状态详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转中,那么这两个态是正交的,因为它们的内积为0。
总之,正交归一化叠加态是指在一个量子系统中,多个归一化态之间是正交的,并且它们的叠加形成了一个新的归一化态。在量子计算中,正交归一化叠加态是一种常用的量子态,因为它们具有良好的可操作性和测量性质。常见的正交归一化叠加态包括Hadamard变换的超位置态和Bell态。

详解量子计算:相位反冲与相位反转:这是一个Bell态,也是一个常用的量子态。它可以通过将两个qubit都置于详解量子计算:相位反冲与相位反转态并施加CNOT门来制备。
详解量子计算:相位反冲与相位反转:这是一个比特的叠加态。它可以通过对一个qubit施加Hadamard门来制备。

相位(全局与相对)

全局相位

全局相位是指一个量子态的相位旋转,它不会改变该量子态的物理性质。在量子力学中,一个量子态可以表示成幺正算符作用于某个基态,而幺正算符通常包含一个相位因子。对于一个给定的量子态,如果我们对这个幺正算符中的相位进行一个统一的改变,那么这个量子态就会产生一个全局相位的变化。这个全局相位的变化不会影响任何可观测量的测量结果,因此被视为无用的信息。
一个例子是两个量子比特的纠缠态 详解量子计算:相位反冲与相位反转,这个态有一个全局相位因子 详解量子计算:相位反冲与相位反转,并且有一个相对相位因子 详解量子计算:相位反冲与相位反转
全局相位因子表现为态矢量整体乘上一个复数,比如 详解量子计算:相位反冲与相位反转,其中 详解量子计算:相位反冲与相位反转 是一个常数。在上面的例子中,详解量子计算:相位反冲与相位反转 就是这个态的全局相位因子。
相对相位因子表现为态矢量中不同基态系数之间的复数因子,比如上面的例子中的 详解量子计算:相位反冲与相位反转。在这个例子中,详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 的系数之间的相对相位因子是 详解量子计算:相位反冲与相位反转

在量子力学中,一个态矢量 详解量子计算:相位反冲与相位反转 可以表示为相对相位和全局相位的乘积形式:详解量子计算:相位反冲与相位反转

其中 详解量子计算:相位反冲与相位反转 是一个固定的态矢量,详解量子计算:相位反冲与相位反转 是相对相位,详解量子计算:相位反冲与相位反转 是全局相位。相对相位指的是相对于某个基态 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的相位,而全局相位是指整个态矢量的相位。

首先,假设我们有一个两量子比特的纯态 详解量子计算:相位反冲与相位反转,其中第一个量子比特的状态是 详解量子计算:相位反冲与相位反转,第二个量子比特的状态为

详解量子计算:相位反冲与相位反转

假设我们在第一个量子比特上施加一个相位门 详解量子计算:相位反冲与相位反转,我们可以得到如下的纯态:

详解量子计算:相位反冲与相位反转

现在,我们来计算相对相位。设 详解量子计算:相位反冲与相位反转,则

详解量子计算:相位反冲与相位反转

类似地,设 详解量子计算:相位反冲与相位反转,则

详解量子计算:相位反冲与相位反转

因此,我们可以得到相对相位为 详解量子计算:相位反冲与相位反转

现在,我们来看一个有全局相位的例子。假设我们的初始态为

详解量子计算:相位反冲与相位反转

我们来计算施加相位门 详解量子计算:相位反冲与相位反转 之后的态。首先,我们需要将 详解量子计算:相位反冲与相位反转 展开成矩阵形式:

详解量子计算:相位反冲与相位反转

对第一个量子比特施加 详解量子计算:相位反冲与相位反转 门后,我们得到的新态为:

详解量子计算:相位反冲与相位反转

现在,我们来计算两个态的内积:

详解量子计算:相位反冲与相位反转

由于内积的结果中有相位 详解量子计算:相位反冲与相位反转,所以我们称这个量子态有全局相位。全局相位是一个复数,它可以表示为详解量子计算:相位反冲与相位反转,其中详解量子计算:相位反冲与相位反转是相位角。当我们对一个量子比特施加一个全局相位详解量子计算:相位反冲与相位反转时,其密度矩阵的形式会发生变化,但在测量方面并没有影响。因此,全局相位通常被认为是量子态的“不可观测量”。

考虑一个单量子比特系统的初始状态为详解量子计算:相位反冲与相位反转,其中详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转是复数且满足详解量子计算:相位反冲与相位反转。假设我们施加一个全局相位详解量子计算:相位反冲与相位反转,则量子态变为

详解量子计算:相位反冲与相位反转

我们可以将这个量子态写成极坐标形式:

详解量子计算:相位反冲与相位反转

其中,详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转的相位角,详解量子计算:相位反冲与相位反转

可以看出,全局相位详解量子计算:相位反冲与相位反转只是改变了量子态中的全局相位,而不影响相对相位。因此,全局相位通常被忽略,因为它并不影响测量结果或量子计算中的其他操作。

相对相位

与全局相位相对的是相对相位,它指的是两个量子态之间的相对相位差异。
假设有两个量子态 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转,它们的全局相位是一样的,即它们都被乘上了同一个复数因子 详解量子计算:相位反冲与相位反转,其中 详解量子计算:相位反冲与相位反转 是相位角度,那么这两个量子态可以表示为:
详解量子计算:相位反冲与相位反转
详解量子计算:相位反冲与相位反转

其中 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 是两个不同的量子态。如果我们现在对 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行测量,它们所对应的概率幅值的比值为:

详解量子计算:相位反冲与相位反转

其中 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 之间的相对相位差。这个相对相位差是全局相位角度 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的函数,而不是 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 的函数。因此,相对相位差是不受全局相位影响的,只与量子态 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 有关。
因此,我们可以通过改变 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 之间的相对相位差来改变它们之间的区别。这也就是为什么在量子计算中,相对相位非常重要,因为它可以被用来实现量子计算中的一些关键操作,比如量子傅里叶变换和量子相位估计。

总结一下,相对相位是不受全局相位影响的量子态之间的相位差,它可以被用来描述不同量子态之间的区别,并且在量子计算中有重要的应用。

相位反冲的例子

ex1)
详解量子计算:相位反冲与相位反转
详解量子计算:相位反冲与相位反转
详解量子计算:相位反冲与相位反转

其中,详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 分别表示量子比特的基态,详解量子计算:相位反冲与相位反转 表示 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 的正交归一化叠加态,详解量子计算:相位反冲与相位反转 表示张量积,详解量子计算:相位反冲与相位反转 表示一个由 详解量子计算:相位反冲与相位反转 定义的量子门,详解量子计算:相位反冲与相位反转 是一个复数相位,其取值为 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转,具体取决于 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的值。即测量第一个量子比特的结果时,如果结果为详解量子计算:相位反冲与相位反转 ,则说明第二位的结果也是详解量子计算:相位反冲与相位反转 ,此时并没有对第二个量子位进行测量,但是我们知道了第二个量子位的信息。这就是因为我们将第二个量子位操作的变化反转到了全局相位的变化上。

ex2)
假设有一个单量子比特的初始态 详解量子计算:相位反冲与相位反转,经过以下操作后进行测量得到结果 详解量子计算:相位反冲与相位反转

详解量子计算:相位反冲与相位反转 应用一个 Hadamard 门: 详解量子计算:相位反冲与相位反转
详解量子计算:相位反冲与相位反转 作为控制比特,将一个目标比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 作为目标比特,进行 CNOT 操作: 详解量子计算:相位反冲与相位反转
测量第一个量子比特。如果测量结果为 详解量子计算:相位反冲与相位反转,则目标比特测量结果为 详解量子计算:相位反冲与相位反转;如果测量结果为 详解量子计算:相位反冲与相位反转,则目标比特测量结果为 详解量子计算:相位反冲与相位反转
详解量子计算:相位反冲与相位反转

在这个例子中,相位反转发生在第 2 步,当控制比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的状态为 详解量子计算:相位反冲与相位反转 时,目标比特的相位将反转。

ex3):一个复杂的例子
考虑一个双量子比特系统,其中第一个量子比特是控制量子比特,第二个量子比特是目标量子比特。假设目标量子比特处于状态 详解量子计算:相位反冲与相位反转,而控制量子比特处于状态 详解量子计算:相位反冲与相位反转,即:
详解量子计算:相位反冲与相位反转
我们希望将目标量子比特的相位信息传递到控制量子比特上。为了实现这一目的,我们需要执行下面的操作:

  1. 用目标量子比特和一个第三个量子比特构成一个受控门。第三个量子比特的状态为 详解量子计算:相位反冲与相位反转,即 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转
  2. 将控制量子比特与第三个量子比特进行 CNOT 门操作。
  3. 将第三个量子比特和目标量子比特进行 CNOT 门操作(复原)。
  4. 再次将控制量子比特和第三个量子比特进行 CNOT 门操作(复原)。

下面是具体到公式的演示方法:

  • 将目标量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 与第三个量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行 CNOT 门操作,得到如下状态:
    详解量子计算:相位反冲与相位反转

  • 将控制量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 与第三个量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行 CNOT 门操作,得到如下状态:
    详解量子计算:相位反冲与相位反转

  • 将第三个量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 与目标量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行 CNOT 门操作,得到如下状态:
    详解量子计算:相位反冲与相位反转

  • 注意到此时,第二个量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的相位信息已经传递到第三个量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 上了。最后,将控制量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 与第三个量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 再进行一次 CNOT 门操作,得到如下状态:
    详解量子计算:相位反冲与相位反转

化简后可得:

详解量子计算:相位反冲与相位反转

可以看到,控制量子比特的相位信息已经被传递到了目标量子比特上,并且多了一个负号。这就是相位反转的效果。
在这里插入图片描述

其中 详解量子计算:相位反冲与相位反转 表示控制量子比特,详解量子计算:相位反冲与相位反转 表示目标量子比特,详解量子计算:相位反冲与相位反转 表示第三个量子比特。

在该电路中,我们首先对 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行受控门操作,使得 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的相位信息被传递到了 详解量子计算:相位反冲与相位反转 上。然后,我们将 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行 CNOT 门操作,这相当于在 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的状态为 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的时候对 详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行了 详解量子计算:相位反冲与相位反转 门操作。接着,我们将 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行 CNOT 门操作,这将使得 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的相位信息被传递到了 详解量子计算:相位反冲与相位反转 上。最后,我们再次将 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行 CNOT 门操作,相当于在 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的状态为 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的时候对 详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行了 详解量子计算:相位反冲与相位反转 门操作。这一系列操作的结果是,详解量子计算:相位反冲与相位反转 的相位信息被传递到了 详解量子计算:相位反冲与相位反转 本身上,也就是实现了相位反冲的效果。
这个过程中实现相位反冲的关键在于第二步和第四步的 CNOT 门操作。具体来说,第二步的 CNOT 门操作实现了对于 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 状态时,对 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 门操作,而第四步的 CNOT 门操作实现了对于 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 状态时,再次对 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 门操作。
详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行受控门操作时,由于 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的初始状态为 详解量子计算:相位反冲与相位反转,所以相当于对 详解量子计算:相位反冲与相位反转 应用了一个相位门操作 详解量子计算:相位反冲与相位反转。因此,我们实际上实现的是对 详解量子计算:相位反冲与相位反转 应用了 详解量子计算:相位反冲与相位反转 门操作,将 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的相位信息反冲到了 详解量子计算:相位反冲与相位反转 上。
然后在第二步和第四步的 CNOT 门操作中,当 详解量子计算:相位反冲与相位反转 处于 详解量子计算:相位反冲与相位反转 状态时,它会对 详解量子计算:相位反冲与相位反转 施加一个 详解量子计算:相位反冲与相位反转 门操作,而当 详解量子计算:相位反冲与相位反转 处于 详解量子计算:相位反冲与相位反转 状态时,则不会对 详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行操作。因此,通过这两个 CNOT 门操作,我们可以将 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的相位信息反冲到 详解量子计算:相位反冲与相位反转 上,实现了相位反冲的效果。
最终,我们得到的状态为 详解量子计算:相位反冲与相位反转,其中 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 的相位信息,已经被传递到了 详解量子计算:相位反冲与相位反转 上。

为了更好地理解,我们将带入纯数式,用纯数学的方式来计算。

假设量子态 详解量子计算:相位反冲与相位反转 是一个单比特量子态,它的数学表达式可以表示为:

详解量子计算:相位反冲与相位反转

其中,详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转是复数,详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转分别是基态。

另外,叠加态详解量子计算:相位反冲与相位反转也是一个单比特量子态,它的数学表达式可以表示为:

详解量子计算:相位反冲与相位反转

当叠加态 详解量子计算:相位反冲与相位反转 作为控制比特,量子态 详解量子计算:相位反冲与相位反转 作为目标比特,应用CNOT门,可以得到:

详解量子计算:相位反冲与相位反转

因此,线路第二阶段与第四阶段输出的量子态可以表示为:

详解量子计算:相位反冲与相位反转
详解量子计算:相位反冲与相位反转

2阶段公式化简可得:

详解量子计算:相位反冲与相位反转

而同理4阶段公式化简可得:
详解量子计算:相位反冲与相位反转

所以我们可以清楚的看到,量子反冲之前,当第一个量子位被测量后,我们无法得知第二个量子位的信息,它仍然是随机的。但是量子反冲之后,当第一个量子位被测量时,我们可以得知第二个量子位的相位信息。当第一个量子位确定时,第二个量子位也被确定了。

完整的相位反冲量子线路图如下所示:

在这里插入图片描述

ex4)
假设三个量子比特分别为 详解量子计算:相位反冲与相位反转, 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转,并且目标量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 初始处于状态 详解量子计算:相位反冲与相位反转,而控制量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 初始处于状态 详解量子计算:相位反冲与相位反转,其余量子比特初始处于状态 详解量子计算:相位反冲与相位反转。则该过程可以表达为以下一系列的门操作:

将第三个量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 应用一个 详解量子计算:相位反冲与相位反转 旋转门,将其相位翻转 详解量子计算:相位反冲与相位反转,即 详解量子计算:相位反冲与相位反转

详解量子计算:相位反冲与相位反转 和一个辅助量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行 CNOT 门操作,得到状态:详解量子计算:相位反冲与相位反转

详解量子计算:相位反冲与相位反转 应用一个 详解量子计算:相位反冲与相位反转 门,得到状态:详解量子计算:相位反冲与相位反转

详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行 CNOT 门操作,得到状态:详解量子计算:相位反冲与相位反转 其中,详解量子计算:相位反冲与相位反转 表示经过 详解量子计算:相位反冲与相位反转 门操作后的目标量子比特状态。

详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 再次进行 CNOT 门操作,得到状态:详解量子计算:相位反冲与相位反转

详解量子计算:相位反冲与相位反转 再次应用一个 详解量子计算:相位反冲与相位反转 门,得到状态:详解量子计算:相位反冲与相位反转

最后,将 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 进行一次 CNOT 门操作,得到状态:详解量子计算:相位反冲与相位反转

我们可以看到,最终的状态中,第一个量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 上的相位信息反转了,并且通过观察第二个量子比特 详解量子计算:相位反冲与相位反转 的状态可以验证这一点。

相位反转与量子振幅放大算法

相位反转和相位反冲是两个不同的概念。相位反转通常是指改变一个量子态中某个比特的相位,即在Bloch球的经典视角下绕Z轴旋转一个角度,或者在复数表示下将相位取负。相位反转是一种常见的量子门操作,可以用于量子计算中的一些算法,如量子振幅放大算法。相位反冲是指一个比特的相位被反转后,与之相邻的另一个比特的相位也随之发生反转。在量子计算中,相位反冲可以用于制备纠缠态和量子错误校正等。

用目标量子比特和一个第三个量子比特构成一个受控门。第三个量子比特的状态为 详解量子计算:相位反冲与相位反转,即 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转
将控制量子比特与第三个量子比特进行 CNOT 门操作。
将第三个量子比特和目标量子比特进行 CNOT 门操作。
再次将控制量子比特和第三个量子比特进行 CNOT 门操作。
详解量子计算:相位反冲与相位反转

其中,详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 是控制量子比特的两个状态。在这个过程中,第三个量子比特的相位翻转被“反弹”回控制量子比特,从而将目标量子比特的相位信息传递给控制量子比特。

相位反转(phase flip)和概率有一定的关系,因为在进行相位反转操作时,会导致量子态的相位发生改变,从而影响到测量时的概率分布。
详解量子计算:相位反冲与相位反转

具体来说,在量子力学中,一个量子态可以表示为幅度和相位的叠加。在测量量子态时,它会坍缩为一个确定的状态,且不同状态的概率分布由幅度的模长的平方给出。相位反转操作本身不会增加概率,因为量子态的模长平方代表的概率在相位反转后不会改变。但是在某些情况下,相位反转操作可以通过干涉的方式增加某些测量结果的概率。

量子振幅放大算法

假设有一个黑盒子程序 详解量子计算:相位反冲与相位反转,它能将输入 详解量子计算:相位反冲与相位反转 映射到输出 详解量子计算:相位反冲与相位反转,其中 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转 比特的布尔函数,且保证只有一个 详解量子计算:相位反冲与相位反转 使得 详解量子计算:相位反冲与相位反转。我们的目标是找到这个满足 详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转。对于经典计算机而言,需要进行 详解量子计算:相位反冲与相位反转 次计算才能找到这个解,但对于量子计算机,量子振幅放大算法可以实现在 详解量子计算:相位反冲与相位反转 次计算内找到这个解,其中 详解量子计算:相位反冲与相位反转

算法的流程如下:
初始化:对于一个函数详解量子计算:相位反冲与相位反转,我们选择一个初始状态详解量子计算:相位反冲与相位反转和一个目标状态详解量子计算:相位反冲与相位反转,并构造一个等概率的叠加态详解量子计算:相位反冲与相位反转,其中详解量子计算:相位反冲与相位反转是状态的总数。这里我们假设详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转,其中详解量子计算:相位反冲与相位反转是量子比特数。

反演操作:我们定义一个标记算符详解量子计算:相位反冲与相位反转,使得对于所有的详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转,其中详解量子计算:相位反冲与相位反转当且仅当详解量子计算:相位反冲与相位反转,否则详解量子计算:相位反冲与相位反转。我们将标记算符详解量子计算:相位反冲与相位反转分解成两个操作:首先对于所有的详解量子计算:相位反冲与相位反转,将详解量子计算:相位反冲与相位反转映射到详解量子计算:相位反冲与相位反转详解量子计算:相位反冲与相位反转上,然后将详解量子计算:相位反冲与相位反转映射到详解量子计算:相位反冲与相位反转上。这样,我们就得到了一个反演算符详解量子计算:相位反冲与相位反转,使得详解量子计算:相位反冲与相位反转,其中详解量子计算:相位反冲与相位反转当且仅当详解量子计算:相位反冲与相位反转,否则详解量子计算:相位反冲与相位反转

重复操作:我们将反演算符详解量子计算:相位反冲与相位反转应用详解量子计算:相位反冲与相位反转次,得到详解量子计算:相位反冲与相位反转。这里详解量子计算:相位反冲与相位反转的取值应该足够大,满足详解量子计算:相位反冲与相位反转,其中详解量子计算:相位反冲与相位反转是反正弦函数。这样可以使得详解量子计算:相位反冲与相位反转更加靠近目标状态详解量子计算:相位反冲与相位反转

测量操作:最后我们进行一次测量操作,将详解量子计算:相位反冲与相位反转映射到某个状态上。由于详解量子计算:相位反冲与相位反转更加靠近目标状态详解量子计算:相位反冲与相位反转,所以测量结果为详解量子计算:相位反冲与相位反转的概率更大。

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