数据结构——堆

一、树概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。（1）有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点（2）除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继（3）因此，树是递归定义注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点 非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推； 树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

二、二叉树概念及结构

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合: 1. 或者为空 2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出： 1. 二叉树不存在度大于2的结点 2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点. 2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-13. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n1 ,则有 n0＝n1 ＋1 4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log(N+1)5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有： （1）若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点（2）若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，若2i+1>=n，则无左孩子 （3）若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，若2i+2>=n，则无右孩子

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储 顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。 2. 链式存储 二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链表来表示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链。

三、堆的概念及结构

堆的性质： （1）堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值； （2）堆总是一棵完全二叉树。

3.1 堆的实现

3.1.2 堆的基本功能实现

#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}Heap;

// 堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* hp);

3.3.2 堆的创建与销毁

// 堆的初始化
void HeapInit(Heap*hp)
{
	assert(hp);
	hp-> a=NULL;
	hp->size=0;
	hp->capacity=0;
}
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	free(hp->a);
	hp->a = NULL;
	hp->size = 0;
	hp->capacity = 0;
}

3.3.3 堆的插入与删除

堆的插入：（1)数组的常规插入
（2）将数据向上调整

void swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{
	HPDataType tmp = * x;
	*x = * y;
	*y = tmp;
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
	assert(hp);
	if (hp->size == hp->capacity)
	{
		int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail:");
			return;
		}
		hp->a = tmp;
		hp->capacity = newcapacity;
	}
	
	hp->a[hp->size] = x;
	hp->size++;
	int child = hp->size - 1;
	int parent = (child - 1) / 2;
	//小堆
	while (child>0)
	{
		if (hp->a[parent] > hp->a[child])
		{
			swap(&hp->a[parent], &hp->a[child]);
		}
		child = parent;
		parent = (child - 1) / 2;
	}
	
}

堆的删除：（1）将首尾交换，删除原根节点
（2）将数据向下调整

// 堆的删除(删除堆顶）
void HeapPop(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(hp->size > 0);
	swap(&hp->a[hp->size - 1], &hp->a[0]);
	hp->size--;
	int parent = 0;
	int child = parent * 2 + 1;//左孩子
	while (child<hp->size)
	{
		
		if (child<hp->size-1&&hp->a[child] > hp->a[child + 1])
		{
			++child;
		}
		if (hp->a[parent] > hp->a[child])
		{
			swap(&hp->a[child], &hp->a[parent]);
            parent = child;
		    child = parent * 2 + 1;

		}
		else
        {
           break;
	     }

}

3.3.4 获取堆顶元素和获取堆的元素个数

// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->a[0];
}
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->size;
}

3.3.5 堆是否为空

// 堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->size == 0;
}

3.2 堆的应用

3.2.1 堆排序（时间复杂度O（NlogN))

堆排序分为俩步：1.在数组上直接建堆（1）向上调整建堆（时间复杂度为O(NlogN)

for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        AdjustUp(a, i);
    }

向上调整建堆的时间复杂度计算：
总的调整次数为T(h)
T(h)= 2^(h-1)*(h-1)+2^(h-2)*(h-2)+……+2^2*2+2^1*1       ①
2*T(h)=  2^(h)*(h-1)+2^(h-1)*(h-2)+……+2^3*2+2^2*1 ②
② –①得：
T(h)=2^(h)*(h-1)-(2^(h-1)+……+2^3+2^2+2^1+2^0 )+1
T(h)=2^(h)*(h-1)-(2^h-1)+1
T(h)=2^(h)*(h-1)-2^h+2
T(h)=2^h*(h-2)+2 ③

满二叉树又有高度h与节点N的关系
N=2^h-1->h=log(N+1) 带入 ③
O(N)=(N+1)(log(N+1)-2)+2
O(N)=NlogN

（2）向下调整建堆(O(N))

for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}

向下调整建堆的时间复杂度计算：
我们从不是叶子的第一个节点（上图中红框标注）开始向下调整，一直到根节点
总的调整次数为T(h)
T(h)= 2^(h-2)*1+2^(h-3)*2+2^(h-4)*3+……+2^1*(h-2)+2^0*(h-1) ①
2*T(h)=2^(h-1)*1+2^(h-2)*2+2^(h-3)*3+……+2^2*(h-2)+2^1*(h-1) ②
② –①得：
T(h)=2^(h-1)*1+2^(h-2)+2^(h-3)+……+2^2+2^1-（h-1)
T(h)=(2^(h-1)*1+2^(h-2)+2^(h-3)+……+2^2+2^1+2^0)-h
T(h)=2^h-1-h ③
满二叉树又有高度h与节点N的关系
N=2^h-1->h=log(N+1) 带入 ③
O(N)=N+1-1-log(N-1)
O(N)=N

若升序排列：建大堆 若降序排列：建小堆 注：向下建堆时间复杂度更低且下面排序用的也是向下调整，所以我们一般采用向下建堆，可以只写一个向下调整功能2. 利用堆删除思想来进行排序（向下调整）(O(NlogN))(1)将堆顶和堆尾进行互换(2)将数据向下调整

int end = n - 1;
	while(end>0)
	{
		swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}

堆排序完整代码：

void swap(int *x, int *y)
{
	int tmp = *x;
	*x = *y;
	*y = tmp;
}
void AdjustUp(int* a, int child)
{
	
	while (child > 0)
	{
		int parent = (child - 1) / 2;
		if (a[parent] < a[child])
		{
			swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;//左孩子
	while (child<size)
	{
		if (child < size - 1 && a[child] < a[child + 1])
		{
			++child;
		}
		if (a[parent] < a[child])
		{
			swap(&a[parent], &a[child]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void HeapSort(int* a, int n)
{
	//for (int i = 1; i < n; i++)
	//{
	//	AdjustUp(a, i);
	//}
    for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
	int end = n - 1;
	while(end>0)
	{
		swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}

3.2.2 top-K问题

找一堆数据中最大的k个数据：
（1）建立k个元素的小堆
（2）若是其他数据比堆顶大，则替换，并且向下调整，使大数据都沉到堆底

void AdjustUp(int* a, int child)
{
	
	while (child > 0)
	{
		int parent = (child - 1) / 2;
		if (a[parent] > a[child])
		{
			swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;//左孩子
	while (child<size)
	{
		if (child < size - 1 && a[child] >a[child + 1])
		{
			++child;
		}
		if (a[parent] > a[child])
		{
			swap(&a[parent], &a[child]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void CreateDate()
{
	int n = 1000;
	srand((unsigned int)time(NULL));
	
	FILE* f = fopen("date.txt", "w");
	if (f == NULL)
	{
		perror("fopen error:");
		return;
	}
	for (int i = 0; i < 1000; i++)
	{
		int x = rand()%1000;
		fprintf(f, "%d\n", x);
	}
	fclose(f);
}
void PrintTopK(char* file, int k)//从文件中找到前最大的k个数据
{
	FILE* fout = fopen(file, "r");
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen fail:");
		return;
	}
	//建k个数据的小堆
	int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(fout, "%d", minheap);
		AdjustUp(minheap, i);
	}
	//继续遍历文件数据，大于堆顶，进堆
	int x = 0;
	while (fscanf(fout, "%d", &x)!=EOF)	
	{
		
		if (minheap[0] < x)
		{
			/*if (x > 950)
			{
				int sss = 0;
			}*/
			minheap[0]= x;
			AdjustDown(minheap, k, 0);
		}
			;
	}
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", minheap[i]);
	}
}

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